Esiste[b] una e una sola[/b] circonferenza passante [u]per tre punti[/u] [b]non allineati[/b].[br][br][u]Ipotesi[/u]: A, B e C sono tre punti non allineati[br][u]Tesi[/u]: Esiste una sola circonferenza passante per A, B e C

Si tratta di una [u]dimostrazione costruttiva[/u]; cioè, per dimostrare l'esistenza di una tale circonferenza la costruiamo, forniamo un procedimento per costruirla.

Consideriamo l'asse del segmento AB e l'asse del segmento BC.[br]Dato che i tre punti non sono allineati, i due assi dei segmenti non sono paralleli e quindi, si incontrano in un punto O.[br]OA [math]\cong[/math] OB perchè O appartiene all'asse di AB e quindi, deve essere equidistante dai suoi estremi;[br]OB [math]\cong[/math] OC perchè O appartiene all'asse di BC e quindi, deve essere equidistante dai suoi estremi.[br][br]Pertanto, OA [math]\cong[/math] OB [math]\cong[/math] OC per la proprietà transitiva; cioè, O è equidistante da A, B e C. [br]Prendendo la circonferenza di centro O e raggio OA, abbiamo una circonferenza che non solo passa per A, ma anche per B e C. Abbiamo costruito la circonferenza passante per i tre punti.

La circonferenza che abbiamo costruito è [b]unica[/b] perchè è [b]unico[/b] il punto da prendere come centro, l'intersezione degli assi dei due segmenti AB e AC.

[b]Non può esistere[/b] una circonferenza passante per [b]tre punti allineati[/b] A, B e C perchè non esiste il centro, che dovrebbe essere l'intersezione degli assi dei segmenti AB e BC. [br]Dato che i punti A, B e C sono allineati, gli assi di AB e BC sono paralleli e quindi, non intersecandosi, non individuano un punto che possa essere il centro della circonferenza.