Wir nehmen die gegebene Funktion [math]x(t)[/math] und leiten zwei mal ab:[br][br][center] [math] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x(t) =- \omega x_0 \sin(\omega t) + v_0 \cos(\omega t) [/math][br] [math] \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2} x(t) =- \omega^2 x_0 \cos(\omega t) - v_0 \omega \sin(\omega t) = - \omega^2 x(t) = -\frac{g}{L} x(t)[/math] [/center][br]Also erfüllt die Funktion die gewünschte Gleichung.[br]

Mit unserem Zwischenergebnis aus Aufgabe 1 können wir bestimmen:[br][br][center] [math] v(0) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x(0) =- \omega x_0 \sin(0) + v_0 \cos(0) =v_0[/math]. [/center][br]Außerdem ist[br][br][center] [math] x(0) = x_0 \cos(0) + \frac{v_0}{\omega} \sin(0) = x_0[/math]. [/center][br]Man kann also interpretieren, dass [math]x_0[/math] die Anfangsauslenkung und [math]v_0[/math] die Anfangsgeschwindigkeit des Fadenpendels ist. Diese beeinflussen die Periodendauer offenbar (in der Kleinwinkelnäherung) nicht!

Wenn [math] x(t+T)=x(t)[/math] für alle [math] t[/math] gelten soll, und [math] T[/math] möglichst klein sein soll, muss für die Argumente gelten:[br][br][center][math] \omega(t+T) = \omega t + 2\pi[/math],[/center][br]weil Sinus und Cosinus [math] 2\pi [/math]-periodisch sind. Das heißt genau wenn das Argument (=das, was man in Sinud uns Cosinus einsetzt) um [math]2\pi[/math] gewachsen ist, sind die Werte immer identisch. Damit kann man berechnen:[br][br][center][math] \omega(t+T) = \omega t + 2\pi \quad \Leftrightarrow \quad \omega T = 2\pi \quad \Leftrightarrow \quad T= \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} [/math].[/center][br]Hier muss Wert darauf gelegt werden, die "kleinste" Zahl [math]T[/math] zu finden, da alle ganzzahligen Vielfache von [math]T[/math] wieder die Gleichung erfüllen, was sie ja auch sollen - die Schwingung ist schließlich periodisch.