Για την κατασκευή ενός τμήματος μιας γέφυρας που θα ενώνει το μέσο Δ της πλευράς ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ με την πλευρά ΑΓ, έχει καταρτιστεί προϋπολογισμός που επαρκεί ακριβώς για μήκος ίσο με το μισό της πλευράς ΒΓ. [br]Οι δύο μηχανικοί του έργου διαφώνησαν ως προς το σημείο της πλευράς ΑΓ που πρέπει να τερματίζει η γέφυρα.

• Ο πρώτος υποστήριξε ότι θα πρέπει υποχρεωτικά να είναι το μέσο Ζ της πλευράς ΑΓ και η διεύθυνση της γέφυρας θα πρέπει να είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ.[br]• Ο δεύτερος υποστήριξε ότι αυτό δεν είναι απαραίτητο. Ότι δηλαδή μπορεί να υπάρχει και άλλο σημείο Θ διαφορετικό από το Ζ, έτσι ώστε η γέφυρα να έχει μήκος ίσο με το μισό της πλευράς ΒΓ και να μην είναι παράλληλη προς τη ΒΓ.

Στο δόμημα εμφανίζονται ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ, τα μέσα Δ και Η των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Επίσης, ένα σημείο Θ που κινείται ελεύθερα στην πλευρά ΑΓ.[br][list=1][*]Διατυπώστε με γεωμετρικό τρόπο το πρόβλημα.[/*][*]Πειραματιστείτε για διάφορες θέσεις του σημείου Θ και για διαφορετικά είδη τριγώνων. [/*][*]Χρησιμοποιήστε τα προσφερόμενα εργαλεία για να διατυπώσετε κατάλληλη εικασία.[/*][*]Αποδείξτε τους ισχυρισμούς σας.[/*][/list]