Questa attività, ispirata dal prof. Giovanni Cupini dell'Università di Bologna[sup]1[/sup], propone un'applicazione del Metodo di Monte Carlo al calcolo di un integrale definito attraverso l'applicazione del Teorema della media integrale.[br][i][br][size=85](1) "Dante e la zara- Un percorso matematico tra teoria ed esperienza." nell'ambito delle iniziative del percorso formativo "La matematica che non ti aspetti" presso UNIMORE Dipartimento di Scienze, Fisiche Informatiche e Matematiche, 18 ottobre 2024.[/size][/i]

Il significato geometrico del Teorema della media integrale è poter calcolare l'integrale definito di una funzione continua come area di un rettangolo di base [a;b] e di altezza corrispondente al valore che la funzione stessa assume per almeno un valore nell'intervallo, ovvero[br][center][math]\large\int_a^b f(x)dx=(b-a)\cdot f(\rho)\quad \rho\in[a;b] [/math][/center][br]Detto che la base è fissata, l'idea è quella di determinare il valore dell'altezza del rettangolo.[br]Qui entra in gioco il Metodo di Monte Carlo.[br]Si trovano n punti casuali all'interno dell'intervallo [a;b], ovvero[br][center][math]\large x_1,x_2,...,x_n\in[a;b] [/math][/center][br]e per ognuno i corrispettivi valori della funzione: ebbene il valore approssimato dell'altezza è calcolato come media aritmetica dei valori della funzione, ovvero:[br][center][math]\large h=\frac{\sum_{i=1}^n f(x_i)}{n} [/math][/center][br]da cui[br][center][math]\large\int_a^b f(x)dx\approx (b-a)\cdot h [/math][/center]

L'attività è suddivisa in tre sezioni:[br][list=1][*][b]Integrale definito[/b][/*][list][*]Mostra traccia f: mostra in tratteggio l'intera funzione al di fuori dell'intevallo [a;b]; sul grafico è possibile variare sull'asse x gli estremi d'integrazione muovendo i punti a e b[sup]2[/sup].[/*][*]Mostra pt costruzione f: mostra 4 punti muovendo i quali è possibile modificare la funzione[sup]3[/sup][/*][*]Mostra integrale: mostra la superficie sottesa dalla curva e compresa con l'asse x negli estremi d'integrazione[/*][/list][*][b]Teorema della media integrale[/b][/*][list][*]Mostra livello TM: sul grafico mostra il valore derivante dal Teorema della media integrale ottenuto dal rapporto dell'integrale con l'ampiezza dell'intervallo [a;b][/*][/list][*][b]Metodo di Monte Carlo[/b][/*][list][*]Lo slider consente di variare il numero dei valori casuali: i comandi [b]x10[/b] e [b]/10[/b] consentono di aumentare rapidamente il numero delle prove[sup]4[/sup].[/*][*]Mostra distribuzione: sul grafico mostra la distribuzione dei valori casuali nell'intervallo [a;b] evidenziando in verde quelli in cui la funzione è maggiore della media, in rosso quelli minori; analogamente a fianco nella console ci sono i dati numerici[/*][*]Mostra livello MC: sul grafico mostra il valore medio dei valori assunti dalla funzione nei punti casuali evidenziando la differenza con quello ottenuto dal Teorema della media integrale.[/*][/list][/list][i][size=85][i][size=85](2) La procedura non consente che l'estremo b possa essere spostato prima di a, ma al massimo può raggiungere il valore a+0.25. L'estremo a può invece essere spostato liberamente.[/size][/i][br](3) La funzione è stata definita con la legge d'interpolazione polinomiale per i 4 punti. [b]Si raccomanda di non allineare verticalmente i punti.[/b][br][i][size=85](4) ATTENZIONE: per valori oltre il migliaio l'elaborazione può richiedere diversi minuti[/size][/i][/size][/i][br][br]