Eräs yhtiö omistaa kerrostalon, josta he vuokraavat huoneistoja. Huoneistoja on yhteensä 40 kappaletta, ja tällä hetkellä niissä kaikissa on vuokralainen. Kuukausivuokra yhdestä huoneistosta on 800 euroa kuukaudessa. Yhtiö on tarkastellut tilastotietoja asuntojen vuokrahintojen ja asuntojen menekin välillä, ja tullut tähän tulokseen: Jos he nostavat asuntojen kuukausivuokraa 25 eurolla, yksi asukas sanoo vuokrasopimuksensa irti. Jos vuokraa nostetaan edelleen 25 eurolla, seuraavakin asukas lähtee. Jatkaen samaa logiikkaa, jokaiselta 25 euron korotukselta menetetään yksi asukas.[br][br]Yhtiö saa vuokralaisilta vuokratuloa, mutta yhtiö joutuu myös maksamaan asuntojen kunnossapidosta. Yhtiö tietää edellisiin vuosiin perustuen, että kunnossapitokustannukset per asuttu huoneisto ovat 100 euroa kuussa, ja asumattomalta huoneistolta paljon vähemmän, vain 10 euroa kuussa. [br][br]Mihin lukuarvoon vuokra kannattaa nostaa, jotta vuokraaja saa mahdollisimman paljon tuloja?

Ratkaisu:[br]Numerotietoja on nyt monta, ja osa niistä liittyy rahan saamiseen, osa rahan kulumiseen. Sekä rahan tulo että rahan meno ovat lisäksi riippuvaisia siitä, kuinka monta 25 euron hinnankorotusta päätetään tehdä. Tämän kaltaisissa tilanteissa ei kannata yrittääkään kirjoittaa ratkaistavaa matemaattista lauseketta suoraan, vaan alkaa kirjoittaa jonkinnäköistä taulukkoa asioista, jotka tiedämme. Oletetaan aluksi, että yhtiö ei tee yhtäkään hinnakorotusta. Katso alla olevaa taulukkoa, ja sen ylintä riviä. Nyt "Nostoja"=0, eli hintaa ei ole korotettu yhtään. Yhtiö saa vuokratuloa [math]\Large 40 \cdot 800 [/math] euroa, koska kaikki huoneistot ovat vuokralla. Rahaa menee kunnossapitokustannuksiin [math]\Large 40 \cdot 100 [/math].[br][br]Oletetaan nyt, että tehdään yksi 25 euron korotus vuokriin, ja katsotaan miltä luvut näyttävät. Yhtiö saa nyt vuokratuloa [math]\Large 39 \cdot 825 [/math] euroa kuussa, koska yksi asunto jäi tyhjilleen, ja vuokraa korotettiin. Kunnossapitokkustannuksiin menee [math]\Large 39 \cdot 100 + 1 \cdot 10 [/math] , koska 39 asuntoa on vuokralla, ja yksi tyhjänä.[br][br]Kirjoitetaan vielä seuraava sarake, eli mitkä ovat tulot ja menot, jos 25 euron korotuksia on tehty 2. Huomataan, että asutettujen asuntojen määrä tippuu taas yhdellä, vuokra nousee 25 eurolla, ja kunnossapitokustannukset pienenevät jälleen, koska asuttuja huoneistoja on yksi vähemmän, ja tyhjiä yksi enemmän.[br][br]Nyt, kun tätä taulukointia on tehty jonkinmatkaa (kannattaa kirjoittaa ainakin kahteen korotukseen asti, mutta maun mukaan taulukkoa voisi tehdä pidemmällekin), voimme kirjoittaa niin sanotun yleisen lausekkeen. Tämä tarkoittaa siis lausekkeita rahan tuloille ja menoille, joissa näkyy korotusten määrä [br][math]\Large n [/math] muuttujana.[br][br]Kun korotuksia tehdään [math]\Large n [/math], on on vuokrattujen huoneistojen määrä [math]\Large (40-n) [/math]. Vuokran määrä, kun alussa määriteltyä 800 euroa on korotettu [math]\Large n [/math]:llä 25 euron korotuksella, on [math]\Large (800+25 \cdot n) [/math]. Rahan menoille lausekkeet on suoraviivainen kirjoittaa, kun tiedämme vuokrattujen ja tyhjien asuntojen määrät.[br]

Nyt voimme tämän taulukoidun tiedon avulla kirjoittaa lausekkeen yhtiön saamalle kuukausittaiselle voitolle. Voitto lasketaan toki niin, että tulot lasketaan plussana, ja menot miinuksena. Merkitään voittoa symbolilla [math]\Large R [/math] niinkuin [math]\Large revenue [/math].[br][br][math]\Large[br]R(n) = (40-n) \cdot (800+25\cdot n) -(40-n)\cdot 100 - 100 \cdot n[br][/math][br][math]\Large[br]= -25n^2 + 280n +2800[br][/math][br][br]Tahdomme löytää tämän funktion huippukohdan, eli yhtiön optimaalisen voiton. Sehän löydetään derivaatan nollakohdasta.[br][br][math]\Large[br]R'(n) = -50n + 290 = 0[br][/math][br][math]\Large[br]50n = 290 [br][/math][br][math]\Large[br]n = \frac{290}{50} \approx 5.8[br][/math][br][br]Koska tulokseksi saatiin luku, joka on viiden ja kuuden välissä, lasketaan vielä käsin tarkat lukuarvot firman voitolle, jos korotuksia oli 5 tai 6. Saadaan[br][br][math]\Large[br]R(5) = -25 \cdot 5^2 + 280 \cdot 5 +2800 = 28825[br][/math][br][math]\Large[br]R(6) = -25 \cdot 6^2 + 280 \cdot 6 +2800 = 28840[br][/math][br][br]Selvästikin siis yhtiön voitto optimoituu, kun hinnankorotuksia tehdään 6. Silloin vuokra per asunto on [br][math]\Large 800 + 6 \cdot 25 = 950 [/math].[br][br]Alla on vielä näkyvissä firman saama tuotto tehtyjen korotuksien funktiona. Kuvastakin näemme, että optimaalinen arvo löytyy jostakin viiden/kuuden kieppeiltä.