İlk önce [b]Pradoks[/b]'u tanımlayalım.[br] Yunanca “[b][i]karşı, karşıt, zıt”[/i][/b] anlamına gelen “[b][i]para”[/i][/b] önekiyle, fikir düşünce anlamına gelen “[b][i]daxos” [/i][/b]sözcüğünden oluşmuş bir kelimedir [i][b]paradoks[/b][/i]. Kısaca paradoks:[br][list][*]Yanıltmaç[/*][*]Kısır döngü[/*][*]Çelişki[/*][*]Kağıt-kalem veya mantık illüzyonu da diyebiliriz.[/*][/list] Bir sorunun cevabına ne doğru ne de yanlış diyemiyorsak bir Paradoks ile karşı karşıyayız demektir. [br] Nicolas Baurbaki bu konuda[i] "Ünlü paradokslar, on yıllar bazen de yüzyıllar boyunca mantıksal düşünceyi beslemiştir."[/i][br] Mantık oyunları olarak da görülebilecek paradokslar, kendilerini çözdürmek için, heyecanlandırıcı ve eğlendirici bir serüvenin içine çekerek neredeyse insanı kışkırtırlar.[br] Aslında doğru gibi görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak çıkar karşımıza. Tam tersi de mümkündür; yıllarca yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin, hesaplamaların, doğru olduğunu görmek, bizi şaşkınlığa ve hayrete düşürür.[br] Paradoksal durumlarda birlikte gerçekleşmesi beklenmeyen iki olgunun ya da birlikte var olması beklenmeyen iki niteliğin bir arada çıkması söz konusudur, bazen de varılan paradoksal sonuç düpedüz mantıksal bir çelişkidir.[br][b][i]"Bildiğim tek şey hiçbir şey bilmediğimdir"[/i][/b] paradoksu bir diğer klasik örnektir.[br] (Socrates'in paradoksu)[br] [b]Sonsuzlukla ilgili Paradoks:[/b][br] Doğal sayılar kümesi ve Doğal sayıların karelerinin kümesi bir bir eşlenebilir. Bu kümelerin eleman sayıları nasıl birbirine eşit olabilir?[br][b]Bütün kümelerin kümesi paradoksu[/b][br] Profesör, [i]"bir kelime anlamıyla uyumlu ise ona otolojik, değilse heterolojik denir,"[/i] dedi ve şu örneği verdi: [i]"Dört harfli kelimeleri kısa kabul edersek, kısa kelimesinin kendisi de kısa olduğundan bu kelime otolojiktir, uzun kelimesinin kendisi uzun olmadığından bu kelime heterolojiktir. Aynı şekilde üç üç harfli olmadığından heterolojiktir, dört dört harfli olduğundan otolojiktir."[/i][br] Bir öğrenci söz istedi: "Hocam, heterolojik kelimesinin kendisi heterolojik midir, yoksa otolojik mi?"[br][br]Bu, tabii ki, bir paradoks; heterolojik kelimesi otolojikse heterolojik, heterolojikse otolojiktir.

Eğer X kendisinin bir elemanı değilse, kendisini içermelidir çünkü X kendisini içermeyen [b]kümeleri[/b] içeren bir kümedir. Eğer X kendisinin bir elemanıysa, X kendisini içermeyen bir kümedir çünkü X [b]kümesi[/b] kendisini içermeyen kümelerden oluşur. Oluşan bu [b]paradoksa[/b] Russel [b]Paradoksu[/b] denir.

Sembolik olarak:[br][br][img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b11fbd37629e61ce7ed3a0e4058d1602d378f8d[/img][br][br]Sezgisel Kümeler Kuramı'nı, sembolik mantığın "[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f[/img]" ikili ilişkisiyle ve tanımlı altküme aksiyom şemasıyla şu şekilde tanımlarsak:[br][br][img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c622da728ddd9727f6bba25fb95e7d308634bfc7[/img][br][br]Görüldüğü gibi kümeler kuramında yazılmış herhangi bir  [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e[/img] özelliği için sadece x değişkeni serbesttir. Bu  [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e[/img] özelliğini  [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221b2b8a0e97121c78fd1588eb7e9faaff3674ff[/img]  şeklinde tanımlayalım. O halde y=x seçtiğimiz durumda aşağıdaki gibi bir çelişki elde ederiz.[br] [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d170505f2074f2f2bc20634d1134bdceeee7b3a2[/img] [br] Bu da Russel bu çelişkiyi fark etmeden önce Frege'nin üzerinde çalıştığı kümeler kuramının tutarsız olduğunun bir göstergesidir.