係数行列[b]A[/b]=[aij]と列ベクトル[b]ｘ[/b]，行ベクトル[b][sup]t[/sup]ｘ[/b]を使った２次の同次式を[br][b][color=#0000ff]２次形式[quadratic form][/color]という。[br][/b][br]２次元の場合の２次形式q[b](x)[/b]は、たとえば、[br][b]ｘ[/b]＝(x,y)のとき、係数が[b]A[/b]={{1,1},{2,2}}なら、[br]q([b]x[/b])=[b]A[x][/b]=[b][sup]t[/sup]xAx[/b]=[x ,y]{{x+y},{2x+2y}}=x(x+y)+y(2x+2y)=x[sup]2[/sup]+3xy+2y[sup]2[/sup]とどの項も２次の式になるね。[br][br][b]B[/b]=[bij]=[(aij+aji)/2]と提示すると、Bは対称行列になるね。[br]だから、結果として、対称な位置の係数は足し合わされるので、A[[b]x[/b]]=B[[b]x[/b]]となる。[br]２次形式の係数は、対称行列に直せるから、対称行列と仮定してよい。[br][br][color=#0000ff]（例）q([b]x[/b])=2x[sup]2[/sup]+2√3xy-3y[sup]2[/sup]をA[[b]x[/b]]の係数行列Aを求めよう。[br][/color] [u][b]x[sup]2[/sup],y[sup]2[/sup]の係数2, -3が対角係数[/b][/u]、ｘｙの係数÷２=√3が反対角係数[br] A={{2,√3},{√3,-3}}[br][color=#0000ff][br](一般化)[/color][br][b]ｘ[/b]＝(x1,x2,....,xn)のとき、q([b]x[/b])=[b][sup]t[/sup]xAx[/b]を２次形式という。[br][br][b][size=150]＜直交変数変換＞[/size][/b][br]２次形式の係数行列は対称行列と仮定できるので、直交変換で対角化できる。[br]だから、[b][color=#0000ff]２次形式も対角化[/color][/b]できるね。[br][br]直交変数変換で[b]ｘ[/b]＝P[b]y[/b]と (Pが直交行列で、P[sup]-1[/sup]=[sup]t[/sup]P, D＝[sup]t[/sup]PAPで対角行列)すると、[br]q([b]x[/b])=A[[b]x[/b]]=D[[b]y[/b]][br][br]たとえば、[br][b]列ベクトルｘ[/b]=(x,y)で、A={{-1,2},{2,2}} のとき　q([b]x[/b])=A[[b]x[/b]][br]|tE-A|=(t-2)(t+1) -4 =t[sup]2 [/sup]-t -6=(t-3)(t+2)=0, t=-2,3。[br]t=-2のとき、-x-2y=0、a=(x,y)=1/√5(-2,1)、t=3のとき、4x-2y=0, b=(x,y)=1/√5(1,2)[br][b]P[/b]=[[sup]t[/sup]a,[sup]t[/sup]b]=1/√5{{-2,1},{1,2}}が変換行列。Pは正規直交基底を並べているので、[br]Pは直交行列で、[sup]t[/sup]PP=E, [sup]t[/sup]P=P[sup]-1[/sup][br]Aは変換行列Pで、P[sup]-1[/sup][b]A[/b]P[b]={{-2, 0},{0, 3}}=B[/b]と対角化できる。[br]このことを使い、２次形式q([b]x[/b])=-x[sup]2[/sup]+4xy+2y[sup]2[/sup]を標準化してみよう。[br][br]q(x)の係数行列はAになるから、q(x)=A[x]=[sup]t[/sup][b]xA[/b][color=#6aa84f][b]ｘ[/b][/color]新変数[b]列ベクトル[i]X[/i][/b]=(X,Y)について、[color=#6aa84f][b]x[/b]=P[/color][i][b][color=#6aa84f]X[/color][color=#0000ff]　[br]として、両辺を転置しよう。[br][/color][/b][/i][color=#9900ff][sup]t[/sup][b]x[/b]=[sup]t[/sup](P[i][b]X[/b][/i])=[sup]t[/sup][b][i]X[/i][/b][sup]t[/sup]P=[sup]t[/sup][i][b]X[/b][/i]P[sup]-1　[/sup][/color]となるから、[br]q(x)=-x[sup]2[/sup]+4xy+2y[sup]2[/sup]＝[sup][color=#9900ff]t[/color][/sup][color=#9900ff]x [/color][b]A [/b][color=#93c47d]ｘ[/color][b]＝[/b][color=#9900ff][sup]t[/sup][i][b]X[/b][/i]P[/color][sup][color=#9900ff]-1[/color][b] [/b][/sup][b]A [/b][color=#6aa84f]P[i][b]X （結合法則で代入しただけです。）[br][/b][/i][/color]=[color=#9900ff][sup]t[/sup][i][b]X ([/b][/i]P[/color][sup][color=#9900ff]-1[/color] [/sup][b]A [/b][color=#6aa84f]P) [/color][color=#6aa84f]X[/color]= [sup]t[/sup]X[b]B[/b]X=-2X[sup]2[/sup]+3Y[sup]2[/sup]

[b]２次形式[/b]は上述のように、[b]対角化[/b]をすることで[b]ｘｙの係数が０[/b]の標準的な２次曲線に変換できるね。[br][b]２次曲線[/b]の方程式に直交行列をかけて、形を変えずに方程式を単純化してみよう。[br]たとえば、[br]係数A＝{{2,√2},{√2,3}}のとき、q([b]x[/b])=[sup]t[/sup][b]x[/b]A[b]x[/b]=4がどんな曲線か、対角化で調べよう。[br]|A-tE|=(t-2)(t-3)-2＝t[sup]2[/sup]-5t+4=(t-1)(t-4)=0。から、対角化後の行列B={{1,0},{0,4}}[br]だから、左辺q([b]x[/b])=X[sup]2[/sup]+4Y[sup]2[/sup]=4 となる。だから、(x/2)[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1の[b]だ円[/b]になるね。[br]（例）[br][color=#0000ff]係数A={{1,2},{2,1}}のとき、q([b]x[/b])=[sup]t[/sup][b]x[/b]A[b]x[/b]=3がどんな曲線か、対角化で調べよう。[br][/color]|A-tE|=(t-1)(t-1)-4＝t[sup]2[/sup]-2t-3=(t-3)(t+1)=0。から、対角化後の行列B={{-1,0},{0,3}}[br]だから、左辺q([b]x[/b])=-X[sup]2[/sup]+3Y[sup]2[/sup]=3 となる。だから、(x/√3)[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup]=(x/√3+y)(x/√3-y)=-1の[b]双曲線[/b]になるね。

成分が複素数であっても、固有方程式の解を使って、対角化ができる。[br]成分が複素数であっても、行ごとや列ごとに見たベクトルで、内積が定義できるので、[br]ふつうに内積が使える空間（内積空間）になる。[br][br]だから、ベクトルのノルムも角も計算できるので、今までの直交変換行列や、正規直交基底、[br]対称行列など、まったく同じような議論ができるので、同じ論法が使えるということだ。[br]複素数が複素平面においたベクトルと見ることができるのだから、論理の飛躍はないですね。[br]複素数ならではのルールもあるので、詳細を順に確認してみよう。[br][br][b][size=150]＜複素ベクトルの内積＞[/size][/b][br][b]ｘ，ｙ[/b]が成分を複素数とする列ベクトルとするとき、ｘの成分を共役複素数にしたベクトルをx[sup]*[/sup]とかく[br]とすると、[br][b]ｘ[/b]と[b]ｙ[/b]の内積は[b]ｘ・ｙ[/b]＝[sup]t[/sup][b]xy[/b][sup]*[/sup][br][b]ｘ[/b]のノルムは||x||=√(x・ｘ)=√([sup]t[/sup][b]xx[/b][sup]*[/sup])[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]２つの列ベクトル[b]ｘ[/b]＝{{2},{1-i}}, [b]y[/b]={{1+i},{3}}について、[br][b]ｘ・ｙ[/b]＝[sup]t[/sup][b]xy[/b][sup]*[/sup]＝{2, 1-i }{{1-i},{3}}=2(1-i)+3(1-i)=5-5i=5(1-i)[br]||x|| =[b]ｘ・x[/b]＝[sup]t[/sup][b]xx[/b][sup]*[/sup]＝{2, 1-i }{{2},{1+i}}=4+2=6[br]||y|| = [b]y・y[/b]＝[sup]t[/sup][b]yy[/b][sup]*[/sup]＝{1+i, 3 }{{1-i},{3}}=2+9=11[br][br][b][size=150]＜エルミート行列＞[/size][/b][br]複素行列Aの成分を共役にして転置した行列、共役転置行列のことを、[color=#0000ff][b]随伴行列[/b][/color]といい、[sup]t[/sup]A[sup]*[/sup]のこと。[br]これを簡単に[b]A*[/b]とかくとして、[color=#0000ff][b]A*=Aとなる行列Aをエルミート行列[/b][/color]という。[br]・エルミート行列の[color=#0000ff][b]対角成分は実数[/b][/color]だ。aii*=aiiだから実数となるね。[br]・エルミート行列は、固有値ti,tj,....が実数で、固有ベクトルui,ujが直交する。[br][br][b][size=150]＜ユニタリー行列＞[br][/size][/b][color=#0000ff][b]U*U＝Eとなる複素行列Uをユニタリー行列[/b][/color]という。[br]ユニタリー行列の列ベクトルは正規直交系になる。なぜなら、[br]列ベクトルの内積の結果が、対角成分のみ１で他が０になるということは、ベクトルの内積が、[br]自分自身のノルムが１で、他との積が０ということになる。だから、各ベクトルは正規直交系だね。[br]エルミート行列の固有値と固有ベクトルのペアの積A[b]u[sub]i[/sub][/b]=t[sub]i[/sub] [b]u[sub]i[/sub][/b][br]これを並べて作って式変形すると、AU＝UQ（Qは対角行列）さらに、U[sup]-1[/sup]AU=Q。[br][color=#0000ff]（例）[br]エルミート行列H＝{{ 2, 1+i },{ 1- i , 3}}[br]を直交行列（ユニタリー行列）Uを使って、対角化してみよう。[br][/color]|H-tE|=(t-2)(t-3)-(1+i)(1-i)=t[sup]2[/sup]-5t+6-2=t[sup]2[/sup]-5t+4=(t-1)(t-4)=0。t=1,4が固有値だね。[br]U[sup]-1[/sup]HU={{1,0},{0,4}}と対角化されるはず。[br][br]・t=1のとき、x+(1+i)y=0から、[br]y=1を代入すると、x=-1-i となり、[br]xx*+y[sup]2[/sup]=1+2=3[br]・t=4のとき、-2x+(1+i)y=0 から、[br]y=1-iを代入すると、x=1となり、[br] x[sup]2[/sup]+yy*=1+2=3[br]だから、たとえば、ユニタリー行列を[br]U=1/√3{{-1-i, 1},{1, 1-i}}とおけばよいね。