Finora abbiamo affrontato solo i casi più semplici di funzioni esponenziali, ma sono già sufficienti per impostare e risolvere i primi problemi, che ovviamente si appoggiano su corrispondenti [b]equazioni e disequazioni esponenziali[/b].[br][br][b][color=#ff0000]Si definisce esponenziale un'equazione (o una disequazione) in cui l'incognita compare all'esponente di una o più potenze presenti.[/color][/b][br][br]Vediamo subito alcuni esempi.[br][br][color=#ff0000][size=150]UN PROBLEMA (ED UN'EQUAZIONE) ELEMENTARE[br][/size][/color]Partiamo con un esempio con dei valori molto semplici, in modo da capire il meccanismo.[br][br][color=#0000ff][b]Inizio un allevamento con 5 conigli. supponendo che i conigli triplichino ogni anno, dopo quanto tempo avrò 405 conigli?[/b][/color] [br][br]Innanzitutto ricostruiamo la funzione che mi permette di calcolare quanti conigli ho dopo [math]\large{a}[/math] anni. Il valore iniziale è [math]\large{5}[/math] ed ogni anno i conigli sono moltiplicati per [math]\large{3}[/math], quindi la funzione cercata è:[br][br][math]\Large{C(a)=5\cdot 3^a}[/math][br][br]L'espressione di [math]\large{C(a)}[/math] ci permette di calcolare il numero di conigli dopo [math]\large{a}[/math] anni; poiché stiamo cercando quando questo numero sarà [math]\large{405}[/math], impostiamo l'equazione:[br][br][math]\Large{5\cdot 3^a=405}[/math][br][br][b][color=#ff0000]Per risolvere questa equazione dobbiamo, come al solito, isolare l'incognita[/color][/b]; dato che essa è all'esponente di una potenza,[b] [color=#ff0000]isoliamo prima di tutto la potenza in cui essa compare[/color][/b]. In questo caso dobbiamo dividere quindi per [math]\large{5}[/math] entrambi i membri:[br][br][math]\Large{\frac{5\cdot 3^a}{\textcolor{red}{5}}=\frac{405}{\textcolor{red}{5}}\ \rightarrow \ 3^a=81}[/math][br][br][math]\large{a}[/math] è quindi l'esponente che devo dare a [math]\large{3}[/math] per ottenere [math]\large{81}[/math], e vale quindi [math]\large{4}[/math]. Quindi nel mio allevamento ci sarà il numero richiesto di conigli dopo [math]\large{4}[/math] anni.[br][br][color=#ff0000][size=150]NUMERI UN PO' MENO BANALI[br][/size][/color]Il primo esempio visto era molto semplice: avremmo potuto risolverlo anche contando quanti conigli ci sarebbero stati dopo un anno, poi dopo due e così via, fermandoci quando avessimo ottenuto i [math]\large{405}[/math] cercati. Ovviamente un approccio simile funziona solo nei casi più semplici, e questi primi problemi servono per individuare una procedura più generale che funzioni anche quando i numeri sono più complessi. Vediamo un altro esempio[br][br][color=#0000ff][b]Creo una cultura di batteri ed osservo come si riproducono. Nella tabella è riportato il numero di batteri dopo [math]\large{m}[/math] mesi dall'inizio dell'esperimento[br][br][table][tr][td]mesi[/td][td]batteri[/td][/tr][tr][td]0[/td][td]7[/td][/tr][tr][td]1[/td][td]63[/td][/tr][tr][td]2[/td][td]567[/td][/tr][tr][td]3[/td][td]5103[/td][/tr][/table][br]Ci interessa sapere in quale momento erano presenti 189 batteri nella cultura.[br][/b][/color] [br]Anche in questo caso dobbiamo innanzitutto ricostruiamo la funzione che ci permette di calcolare quanti batteri ho dopo [math]\large{m}[/math] mesi. Verifichiamo facilmente che ogni mese il numero di batteri è moltiplicato per [math]\large{9}[/math], dato che [math]\large{7\cdot 9=63\ ;\ 63\cdot 9=567\text{ e }567\cdot 9=5103}[/math]. Dato che il numero iniziale di batteri è chiaramente [math]\large{7}[/math], la funzione cercata è:[br][br][math]\Large{B(m)=7\cdot 9^m}[/math][br][br]Impostiamo l'equazione imponendo che i batteri siano il numero richiesto:[br][br][math]\Large{7\cdot 9^m=189}[/math][br][br]Come prima isoliamo la potenza che contiene l'incognita:[br][br][math]\Large{\frac{7\cdot 9^m}{\textcolor{red}{7}}=\frac{189}{\textcolor{red}{7}}\ \rightarrow \ 9^m=27}[/math][br][br]Se stiamo attenti a NON FARE CONFUSIONE ci accorgiamo facilmente che [math]\large{27}[/math] [b]NON[/b] è una potenza di [math]\large{9}[/math], dato che scomponendolo in fattori otteniamo che [math]\large{27=9\cdot 3 = 3^3}[/math]. [br][br]Introduciamo quindi un nuovo passo molto importante nella procedura risolutiva di equazioni e disequazioni di questo tipo: [b][color=#ff0000]otteniamo una forma particolarmente semplice da risolvere se riusciamo ad esprimere entrambi i membri come potenze con la stessa base[/color][/b]. Nel nostro esempio dato che [math]\large{9= 3^2}[/math] la base comune sarà [math]\large{3}[/math] ed otteniamo [br][br][math]\Large{9^m=27\ \rightarrow\ (\textcolor{red}{3}^2)^m=\textcolor{red}{3}^3}[/math][br][br]Applicando la proprietà di potenza di potenza a primo membro otteniamo [br][br][math]\Large{\textcolor{red}{3}^{2m}=\textcolor{red}{3}^3}[/math][br][br]A questo punto abbiamo due potenze con la stessa base che devono essere uguali tra loro; è evidente che questo può accadere solo se sono uguali anche gli esponenti, quindi abbiamo: [br][br][math]\Large{\textcolor{red}{3}^{2m}=\textcolor{red}{3}^3\ \rightarrow\ 2m=3\ \rightarrow\ \frac{3}{2}}[/math][br][br]Quindi il numero di batteri richiesto si ha dopo [math]\large{\frac{3}{2}=1,5}[/math] mesi, cioè dopo un mese e mezzo. Da notare che conoscere MOLTO BENE le proprietà ed il significato degli esponenti ci permette di attribuire all'esponente [math]\large{\frac{3}{2}}[/math] un significato ben preciso che ci permette di verificare il risultato:[br][br][math]\Large{B\left (\textcolor{red}{\frac{3}{2}} \right )=7\cdot 9^\textcolor{red}{\frac{3}{2}}=7\cdot \textcolor{red}{\sqrt[2]{\textcolor{black}{9}^3}}=7\cdot {3^3}=189}[/math][br][br][b][color=#ff0000]Abbiamo quindi individuato tre dei passi fondamentali per risolvere le equazioni esponenziali, o perlomeno quelle più semplici:[br][/color][/b][br][list=1][*][b][color=#ff0000]isolare la potenza che contiene l'incognita come esponente[/color][/b][/*][*][b][color=#ff0000]se necessario riscrivere i due membri dell'equazione come due potenze aventi le stesse basi[/color][/b][/*][*][b][color=#ff0000]confrontare gli esponenti delle due potenze ottenute.[/color][/b][/*][/list][br]Siamo già in grado di risolvere un discreto numero di situazioni, ma per ottenere risultati ancora più generali dobbiamo introdurre il concetto di [b]logaritmo[/b], che presentiamo con l'esempio nel prossimo capitolo.