Dal vettore unitario alla rotazione
Con questa attività vogliamo far emergere, in modo graduale, che [math]e^{ix}[/math] non è solo un numero complesso ma è un particolare operatore.
Grazie alla formula di Eulero abbiamo visto che possiamo leggere [math]e^{ix}[/math] come un numero complesso che si presta a varie interpretazioni :[br][br][list][*][b]trigonometrica[/b] (legame con [math]cosx[/math] e [math]sinx[/math])[/*][/list][math]e^{ix}[/math] rappresenta un numero complesso [math]z=cosx+i\cdot sinx[/math], le cui componenti sono:[br]parte reale: cosx[br]parte immaginaria: sinx[br]quindi: è un modo compatto per esprimere insieme le funzioni coseno e seno e[br][br] [math]\left(cosx;sinx\right)[/math] rappresenta [u]solo[/u] un punto nel piano complesso.[br][br][list][*][b]algebrica o cartesiana[/b][/*][/list]il numero [math]z[/math] rappresenta un numero complesso nella forma algebrica [math]a+i\cdot b[/math][br]le cui componenti sono numeri reali:[br]parte reale: [math]a[/math][br]parte immaginaria: [math]b[/math] [br]In particolare il numero complesso [math]z=a+bi[/math] si vede come un [b]vettore[/b]: [math]v^{\longrightarrow}=\left(a;b\right)[/math] con[br][list][*]componente orizzontale = parte reale[/*][*]componente verticale = parte immaginaria[br][/*][/list]che è una descrizione cartesiana attraverso coordinate. [br]Il modulo di tale vettore è [math]\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}[/math], mentre la sua direzione è [math]\Theta=arctg\left(\frac{b}{a}\right)[/math][br]N.B. in questo modo il vettore è rappresentato in [b][i]modo vettoriale[/i][/b] (coordinate:ti dicono [i]quanto ci si muove in orizzontale/verticale[/i]); [br][br][list][*][b]geeometrica[/b] (legame con la circonferenza)[/*][/list]Nel piano complesso (piano di Piano di Argand-Gauss):[br] [math]e^{ix}[/math] è un punto sulla circonferenza di raggio 1 che forma un angolo [math]x[/math] con l’asse dei numeri reali, quindi è un punto appartenente ad una figura geometrica: la circonferenza unitaria. Quindi, possiamo vedere [math]e^{ix}[/math] come un vettore di lunghezza [math]1[/math] e direzione determinata dall’angolo [math]x[/math] [br]N.B. in questo modo il vettore è rappresentato in [b][i]modo polare[/i][/b] (modulo+angolo: ti dicono [i]quanto è lungo e in che direzione punta)[/i]
Abbiamo anche visto che il piano complesso è un particolare piano cartesiano:[br] sull'asse delle ascisse abbiamo posto i numeri reali[br] sull'asse delle ordinate abbiamo posto la parte immaginaria di un numero complesso (asse immaginario).[br]Con questa premessa, cerchiamo di capire cosa rappresenta [math]z=1[/math] nel piano complesso, rispondendo alle seguenti domande:[*] [/*][*] 1) Dove si trova il punto nel piano?[br][/*][br][*] 2) Quali sono le sue coordinate?[br][/*][br][*] 3) Quanto vale la parte immaginaria?[/*]
Usa la finestra di geogebra sotto.[br]Prova a mettere il numero z=1 sull'asse dei reali nel piano complesso. Per indicare a geogebra che stai mettendo tale punto sull'asse dei reali usa l'[b]icona punto:[/b][br] nella tendina scegli 'Numero complesso' [br] posiziona ora il punto corrispondente a z=1 sull'asse dei reali
Disegna, usando ancora la finestra di geogebra sopra, il vettore corrispondente al numero [math]z=1[/math] .[br]Nella finestra algebra, inserisci:[br][math]vector((0,0),(1,0))[/math] e guardando il vettore graficato, rispondi alle domande indicate sotto.[br]
[*]1) Nella finestra algebrica come è indicato il punto che hai posizionato corrispondente a z=1? [/*][*]2) Quanto vale il modulo (la lunghezza) del vettore?[/*][*]3) Cosa significa “unitario”?[br][/*][*]4) Possiamo immaginarlo come punto e/o come un vettore?[/*]
Con la finestra sottostante di GeoGebra[br][list=1][b]1.creare slider:[/b][/list]seleziona lo strumento 'Slider'[br]clicca sul piano vista grafico[br]e nella finestra che si apre impostare:[br] Nome: X [br] Tipo: numero (non angolo)[br] variabilità: 0 → 2π [ Min: [code]0 [/code]Max: [code]6.28[/code] (oppure [code]2π[/code])][br] incremento: [code]0.05 [/code] [Velocità animazione: media][br][br]IMPORTANTE:[br][list][*]anche se [math]X[/math] rappresenta un angolo, deve essere espresso in GeoGebra come un [b]numero reale[/b][br][/*][*]GeoGebra lavora in radianti di default[/*][/list][br][b] 2. Inserisci il numero complesso[/b][br]inserire nella vista algebra:[br][math]z=exp(i*X)[/math][br][br]attenzione a questi dettagli:[br][list][*]scrivi [b]i[/b] minuscola (unità immaginaria)[br][/*][*]usa [code]*[/code] per la moltiplicazione[br][/*][*]lo slider [code]X[/code] deve esistere PRIMA[/*][/list][br]
1) Cosa vedi per ogni valore [math]X[/math] fissato dello slider?[br]2) che tipo di movimento ha il punto, se attivi lo slider?[br]3) il movimento del punto, con lo slider attivo, che figura descrive?[br]4) quanto è la distanza che ha il punto dall'origine del piano complesso, è sempre la stessa o cambia?[br]5) se ad ogni punto associamo il vettore corrispondente, cosa cambia del vettore quando cambia il valore di [math]X[/math] in [math]e^{iX}[/math]?[br]
Abbiamo visto che il numero [math]z=1[/math] corrisponde al numero complesso[math](1;0)[/math] mentre [math]e^{ix}[/math] può essere pensato come un vettore unitario la cui direzione è individuata da [math]x[/math].[br]Cosa succede al numero [math]z[/math], corrispondente al punto [math](1;0)[/math] nel piano complesso, se lo moltiplichiamo per [math]e^{ix}[/math]?[br][br][math]1\cdot e^{ix}=e^{ix}[/math] ricorda la formula di Eulero [math]e^{ix}=\left(cosx+i\cdot sinx\right)[/math][br]quindi [math]z=1[/math], che corrispondente al vettore unitario [math](1;0)[/math] , se sottoposto ad una moltiplicazione per [math]e^{ix}[/math], diviene un nuovo vettore ancora di modulo unitario e direzione [math]x[/math]; perciò: [math]\left(1;0\right)\longrightarrow[/math] [math]\left(cosx;sinx\right)[/math]
Nel piano complesso, che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente a numero [math]z=1[/math] quando viene moltiplicato per [math]e^{ix}[/math]?
Usa geogebra sottostante e inserisci nella finestra algebrica le opportune indicazioni (già viste in precedenza o secondo le equivalenti indicazioni date) per rappresentare contemporaneamente: [br][b]1) il numero z=1 sull'asse dei reali del piano complesso e il suo vettore corrispondente. [/b][br] Per indicare a geogebra che stai mettendo tale punto sull'asse dei reali usa l'[b]icona punto[/b]; [br] nella tendina scegli 'Numero complesso' [br] posiziona ora il punto corrispondente a [math]Z=1[/math] sull'asse dei reali[br] Z=1 (attenzione metti Z come lettera maiuscola, per Geogebra z è una variabile) [br] P=(Z,0)[br] O=(0,0)[br] [math]v[/math]=Vector(O,P)[br]dovresti vedere:[list][*]punto [math]P=(1,0)[/math][br][/*][*]vettore [math]v[/math] sull’asse reale[/*][/list][b]2) la sua trasformazione dopo che è stato moltiplicato per [/b][math]e^{ix}[/math][b], cioè il vettore corrispondente al punto [/b][math](cosx;sinx)[/math] [b]sul cerchio unitario.[br][/b][br]-creare slider: [br] seleziona lo strumento 'slider'[br] clicca sul piano vista grafico[br] e nella finestra che si apre impostare:[br] Nome: X (non usare la lettera [math]x[/math] perchè geogebra associa a tale valore il valore di una variabile) [br] Tipo: numero (non angolo)[br] Variabilità: 0 → 2π [ Min: [code]0 [/code]Max: [code]6.28[/code] (oppure [code]2π[/code])][br] Step: [code]0.05 [/code] [Velocità animazione: media][br][br]- rappresenta [math]e^{iX}[/math]:[br] nella barra di input scrivi:[br] A = (cos(X), sin(X)) (questo punto rappresenta proprio [math]e^{iX}[/math]).[br][br]-Disegna il vettore dall’origine[br] Scrivi:[br] w = Vector((0,0), A) oppure: w= Vector(A) (Otterrai il vettore che parte dall’origine e arriva al punto A)[br][br][br]Rispondi sotto alle domande, riferendoti alla rappresentazione fatta nella finestra di geogebra sottostante.[br]1. Che relazione c'è tra il vettore [math]v[/math] di partenza (corrispondente a [math]z=1[/math]) e il vettore [math]w[/math] (corrispondente a [math]e^{ix}[/math])? [br]Confronta i loro moduli e le loro direzioni[br]2. Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente a numero z=1 quando viene moltiplicato per [math]e^{ix}[/math]? (esplicita in modo chiaro le caratteristiche della trasformazione)[br]
Abbiamo visto che il numero [math]z=1[/math] corrisponde al numero complesso (1;0) mentre [math]e^{ix}[/math] può essere pensato come un vettore unitario la cui direzione è individuata da x.[br]Cosa succede al numero [math]z=2[/math] corrispondente al punto (2;0) nel piano complesso se lo moltiplichiamo per [math]e^{ix}[/math]?[br][br][math]2\cdot e^{ix}=2e^{ix}[/math] (ricordando la formula di Eulero [math]e^{ix}=\left(cosx+i\cdot sinx\right)[/math]), [math]2\left(cosx+isinx\right)=\left(2cosx+i2sinx\right)[/math][br]quindi [math]z=2[/math], che corrispondente al vettore [math](2;0)[/math] di modulo 2, se sottoposto ad una moltiplicazione per [math]e^{ix}[/math], diviene un nuovo vettore, non più di modulo unitario, ma di modulo 2 ([math]|z|=2[/math]) e direzione [math]x[/math]; perciò: [br] [math]\left(2;0\right)\longrightarrow[/math] [math]\left(2cosx;2sinx\right)[/math][br]
Usa geogebra sottostante e inserisci nella finestra algebrica le opportune indicazioni (già viste in precedenza o secondo le equivalenti indicazioni date) per rappresentare contemporaneamente: [br][b]1) il numero z=2 sull'asse dei reali del piano complesso e il suo vettore corrispondente. [/b][br] Per indicare a geogebra che stai mettendo tale punto sull'asse dei reali usa l'[b]icona punto[/b]; [br] nella tendina scegli 'Numero complesso' [br] posiziona ora il punto corrispondente a [math]Z=2[/math] sull'asse dei reali[br] Z=2 (attenzione metti Z come lettera maiuscola, per Geogebra z è una variabile) [br] P'=(Z,0)[br] O=(0,0)[br] [math]v'[/math]=Vector(O,P')[br]dovresti vedere:[list][*]punto [math]P'=(2,0)[/math][br][/*][*]vettore [math]v'[/math] sull’asse reale[/*][/list][b]2) la sua trasformazione dopo che è stato moltiplicato per [/b][math]e^{ix}[/math][b], cioè il vettore corrispondente al punto [/b][math](2cosx;2sinx)[/math] [b]sul cerchio di raggio 2.[br][/b][br]-creare slider: [br] seleziona lo strumento 'slider'[br] clicca sul piano vista grafico[br] e nella finestra che si apre impostare:[br] Nome: X (non usare la lettera [math]x[/math] perchè geogebra associa a tale valore il valore di una variabile) [br] Tipo: numero (non angolo)[br] Variabilità: 0 → 2π [ Min: [code]0 [/code]Max: [code]6.28[/code] (oppure [code]2π[/code])][br] Step: [code]0.05 [/code] [Velocità animazione: media][br][br]- rappresenta [math]2e^{iX}[/math]:[br] nella barra di input scrivi:[br] A' = (2cos(X), 2sin(X)) (questo punto rappresenta proprio [math]2e^{iX}[/math]).[br][br]-Disegna il vettore dall’origine[br] Scrivi:[br] w' = Vector((0,0), A') oppure: w= Vector(A') (Otterrai il vettore che parte dall’origine e arriva al punto A')[br][br][br]Rispondi sotto alle domande, riferendoti alla rappresentazione fatta nella finestra di geogebra sottostante.[br]1. Che relazione c'è tra il vettore [math]v'[/math] di partenza (corrispondente a [math]z=2[/math]) e il vettore [math]w'[/math] (corrispondente a [math]2e^{ix}[/math])? Confronta i loro moduli e le loro direzioni[br]2. Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente a numero z=2 quando viene moltiplicato per [math]e^{ix}[/math]? (esplicita in modo chiaro le caratteristiche della trasformazione)[br]3. Confronta i due casi, qui riassunti, ottenuti moltiplicando il numero [math]z[/math] per [math]e^{ix}[/math] :[br][math]\left(1,0\right)\longrightarrow\left(cosx,senx\right)[/math][br][br][math]\left(2,0\right)\longrightarrow\left(2cosx,2senx\right)[/math][br] la moltiplicazione per [math]e^{ix}[/math]come agisce sul vettore di partenza?
Domande ulteriori[br]Il numero preso in considerazione z=2 è numero con la parte immaginaria pari a....[list=1] e con modulo pari a .... [br][*]Attiva lo slider nella finestra geogebra sopra; che forma ha il moto del punto A' (corrispondente al vettore [math]2e^{ix}[/math])?[br][/*][br][*]Il raggio della circonferenza è cambiato rispetto al moto del punto A?[br][/*][br][*]Quanto vale il nuovo modulo?[/*][/list] 4. Cosa fa il numero 2 al vettore [math]e^{ix}[/math] (specificare se il vettore [math]2e^{ix}[/math], rispetto al vettore [math]e^{ix}[/math] , rimane lo stesso, oppure si dilata di..., oppure si contrae di ...[br][br]
Nella finestra geogebra sottostante crea una rappresentazione dinamica della situazione: al variare del punto P che rappresenta [math]z[/math] sull'asse dei reali, (dovrai perciò inserire uno slider) possa variare di conseguenza [math]ze^{ix}[/math] ( legare il punto corrispondente a [math]z[/math], alle coordinate del punto trasformato dalla sua moltiplicazione con l'operatore [math]e^{ix}[/math] cioè[br][math](z,0)[/math] si trasforma in [math]\left(zcosx+izsinx\right)[/math]. (Dovresti essere in grado di mettere i comandi di geogebra necessari alla rappresentazione richiesta).
Moltiplichiamo ora [math]e^{ix}[/math] per un numero complesso generico del tipo [math]z=a+ib[/math]. [br]Un numero di questo tipo cosa rappresenta sul piano complesso?[br]qual è il suo modulo [math]|z|[/math]?[br]qual è la sua direzione [math]\Theta[/math]?[br] Come abbiamo visto precedentemente, per il numero z=1 e z=2, eseguiamo tutti i passaggi algebrici per capire come si trasforma [math]z=a+ib[/math] (che può essere visto come [math]\left(a,b\right)[/math][math][/math]) quando viene moltiplicato per [math]e^{ix}[/math][br][br][math]\left(a+ib\right)\cdot e^{ix}=\left(a+ib\right)\cdot\left(cosx+isinx\right)[/math] (avendo ricordato la formula di Eulero [math]e^{ix}=\left(cosx+i\cdot sinx\right)[/math]); svolgi i calcoli sul tuo quaderno e confronta il risultato con qui riportato:[br][math]\left(a+ib\right)\cdot\left(cosx+isinx\right)=acosx-bsinx+i\cdot\left(asinx+bcosx\right)[/math][br] Come vedi il numero complesso [math](a,b)[/math] dopo la moltiplicazione per l'operatore [math]e^{ix}[/math] diviene un nuovo numero complesso: [math](a,b)\longrightarrow\left(a',b'\right)[/math].[br]1) Scrivi sotto la parte reale e poi la parte immaginaria di questo vettore che è la trasformazione del vettore [math](a,b)[/math] causata dal fattore moltiplicativo [math]e^{ix}[/math]
“Se moltiplico un numero complesso per [math]e^{ix}[/math], cosa sto facendo geometricamente?”
Finora, hai visto come agisce [math]e^{ix}[/math] quando viene applicato ad un numero complesso [math]z[/math]; [br]1) riassumi che caratteristiche ha questo operatore?[br]2) cosa cambia dopo che l'operatore [math]e^{ix}[/math] agisce su un numero complesso (rispetto alle sue caratteristiche: modulo e direzione)? [br][list][*][br][/*][/list]3)quindi: [math]e^{ix}[/math] è un operatore di ...