Die stereographische Projektion projiziert die Gausssche Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math] auf die Einheitskugel [math]x_1^2+x_2^2+x_3^2=1[/math] vom Nordpol [math]\infty\equiv\left(0,0,1\right)[/math]. Dabei wird die Gausssche Ebene bijektiv auf die Punkte der in [math]\infty[/math] punktierten Kugel abgebildet. Die Bilder der Kreise und Geraden sind Ebenenschnitte der Kugel.[br]Projiziert man die Kugel vom Mittelpunkt [math]M=\left(0,0,0\right)[/math] auf die Ebene [math]E_{\infty}:x_3=1[/math], so erhält man die [i][b]Elliptische Ebene[/b][/i]. Diametrale Punkte auf der Kugel werden auf [i]einen[/i] "elliptischen Punkt" abgebildet. "Elliptische Geraden" sind die Schitte mit den Ebenen durch den Mittelpunkt M der Kugel.[br][u][i][b]Frage:[/b][/i][/u] Welche Kegelschnitte in der Elliptischen Ebene gehören zu Kreisen, das heißt zu Ebenenschnitten der Kugel? [br]Die Ebene [math]E_{\infty}[/math] kann auch als affine reelle Ebene aufgefasst werden, die Ferngerade ist der projektive Schnitt der Ebenen [math]E_{\infty}[/math] und[math]E_0:x_3=0[/math]. Würde man die Ebne [math]E_0[/math] als Euklidische Ebene betrachten, so können die oben angesprochenen Kegelschnitte keine Kreise sein: Darunter sind auch Hyperbeln![br][br]Man kann eine analoge Konstruktion auch für die [i][b]hyperbolische Ebene[/b][/i] durchführen: man projiziere die Kugel orthogonal, also parallel zur [math]x_3[/math]-Achse auf die Ebene [math]E_0[/math] zurück. "Hyperbolische Geraden" sind die im Innern des Einheitskreises verlaufenden Geradenstücke. [br]Auch hier kann man fragen, wodurch sich die Kegelschnitte auszeichnen, die als Bilder von Ebenenschnitte der Kugel entstehen.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]