Las hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo [b][color=#0000ff]tABC[/color][/b] pasan por su ortocentro [b][color=#38761d]H[/color][/b] y tienen su centro en la circunferencia de los nueve puntos de [color=#0000ff][b]tABC[/b][/color], [color=#ff00ff][b]c9P[/b][/color]. El cuarto punto, además de los vértices, en que la hipérbola corta a la [color=#ff0000][b]circunferencia circunscrita[/b][/color] es el simétrico de [b][color=#38761d]H[/color][/b] respecto del centro [color=#ff0000][b]Q[/b][/color] de la hipérbola.[br][br]Sea [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#0000ff]P[/color][color=#ff0000])[/color][/b] el centro de la hipérbola [color=#ff0000][b]h[sub]P[/sub][/b][/color] circunscrita al triángulo y que pasa también por el punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color]. Entonces, [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#38761d]I[/color][color=#ff0000])[/color][/b] = [color=#ff00ff][b]T[/b][/color] y [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#38761d]I[sub]A[/sub][/color][color=#ff0000])[/color][/b] = [color=#ff00ff][b]T[sub]A[/sub][/b][/color]. Es decir, la que pasa por el centro de la circunferencia inscrita/exinscrita, tiene su centro en el punto de contacto de esta circunferencia con la circunferencia [b][color=#ff00ff]c9P[/color][/b].

Se pueden desplazar los vértices [color=#0000ff][b]A[/b][/color], [color=#0000ff][b]B[/b][/color] y [color=#0000ff][b]C[/b][/color]. También puede pararse la animación y mover el punto [b][color=#0000ff]P[/color][/b] en la circunferencia circunscrita mediante el deslizador. Nótese que el [url=https://www.geogebra.org/m/uxrCtGAZ]ortocentro del triángulo [b]t[color=#0000ff]AB[/color][color=#ff0000]H[/color][/b][/url] es el vértice [b][color=#0000ff]C[/color][/b] y que su circunferencia de los nueve puntos es la misma que la del triángulo [b]tABC[/b]. E igualmente para los otros vértices.[br][color=#ff0000][br][b]Q([/b][/color][b][color=#0000ff]A[/color][color=#ff0000])[/color][/b], [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#0000ff]B[/color][color=#ff0000])[/color][/b], [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#0000ff]C[/color][color=#ff0000])[/color][/b] y [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#38761d]H[/color][color=#ff0000])[/color][/b] están indefinidos. Si [color=#0000ff][b]P[/b][/color] es otro punto cualquiera de un lado, la hipérbola degenera en el lado y la altura correspondiente, con lo que [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#0000ff]P[/color][color=#ff0000])[/color][/b] es el pie de la altura sobre el lado.