Las [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Triangulo_inscrito_Hiperbola_Equilatera.html]hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo [b][color=#0000ff]∆[/color][/b][b][color=#0000ff]ABC[/color][/b] pasan por su ortocentro [b][color=#38761d]H[/color][/b][/url] y [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Circunconicas.html]tienen su centro[/url] en la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Circunferencia9P.html]circunferencia de los nueve puntos[/url] de [color=#0000ff][b][b]∆[/b]ABC[/b][/color], [color=#ff00ff][b]c[sub]9[/sub][/b][/color]. El cuarto punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color], además de los vértices, en que la hipérbola corta a la [color=#ff0000][b]circunferencia circunscrita c[sub]C[/sub][/b][/color] es el simétrico de [b][color=#38761d]H[/color][/b] respecto del centro [color=#ff0000][b]Q[/b][/color] de la hipérbola.[br][br]Los puntos del infinito de la hipérbola, que indican la dirección de sus asíntotas, son los [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Conjugados_Isogonales.html]conjugados isogonales[/url] de los puntos de intersección del diámetro con dirección el conjugado isogonal de [b][color=#0000ff]P[/color][/b] con [color=#ff0000][b]c[sub]C[/sub][/b][/color][sup](1)[/sup][br][br]Sea ahora [b][color=#0000ff]P[/color][/b] cualquier punto del plano y [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#0000ff]P[/color][color=#ff0000])[/color][/b] el centro de la hipérbola [color=#ff0000][b]h[sub]P[/sub][/b][/color] circunscrita al triángulo y que pasa también por el punto [color=#0000ff][b]P[/b][/color]. Entonces, [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#38761d]I[/color][color=#ff0000])[/color][/b] = [color=#ff00ff][b]T[/b][/color] y [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#38761d]I[sub]A[/sub][/color][color=#ff0000])[/color][/b] = [color=#ff00ff][b]T[sub]A[/sub][/b][/color]. Es decir, la que pasa por el centro de la circunferencia inscrita/exinscrita, tiene su centro en el punto de contacto de esta circunferencia con la circunferencia [b][color=#ff00ff]c[sub]9[/sub][/color][/b].

Se puede hacer zoom y/o desplazar toda la imagen, así como los vértices [b][color=#0000ff]A[/color][/b], [b][color=#0000ff]B[/color][/b] y [b][color=#0000ff]C[/color][/b]. También puede pararse la animación y mover el punto [b][color=#0000ff]P[/color][/b] en [b][color=#ff0000]c[sub]C[/sub][/color][/b]. Nótese que el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Alturas.html]ortocentro del [b][color=#0000ff]∆ABH[/color][/b][/url] es el vértice [b][color=#0000ff]C[/color][/b] y que su circunferencia de los nueve puntos es la misma que la del [b][color=#0000ff]∆ABC[/color][/b]. E igualmente para los otros vértices.[br][color=#ff0000][br][b]Q([/b][/color][b][color=#0000ff]A[/color][color=#ff0000])[/color][/b], [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#0000ff]B[/color][color=#ff0000])[/color][/b], [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#0000ff]C[/color][color=#ff0000])[/color][/b] y [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#38761d]H[/color][color=#ff0000])[/color][/b] están indefinidos. Si [color=#0000ff][b]P[/b][/color] es otro punto cualquiera de un lado, la hipérbola degenera en el lado y la altura correspondiente, con lo que [b][color=#ff0000]Q([/color][color=#0000ff]P[/color][color=#ff0000])[/color][/b] es el pie de la altura sobre el lado.[br][br][u] [/u][br][br][sup]1[/sup] Sea [b][color=#ff0000]h[sub]P[/sub][/color][/b] una hipérbola equilátera circunscrita al [b][color=#0000ff]∆ABC[/color][/b], y que pasa por [b][color=#0000ff]P[/color][/b], punto de la circunferencia circunscrita [b][color=#ff0000]c[sub]C[/sub][/color][/b] distinto de los vértices. El conjugado isogonal de [b][color=#0000ff]P[/color][/b], será un punto [b][color=#38761d]J[sup]→[/sup][/color][/b] de la recta del infinito [b]r[sub]∞[/sub][/b]. Entonces [b][color=#ff0000]h[sub]P[/sub][/color][/b] es la transformada isogonal de la recta [b][color=#38761d]OJ[sup]→[/sup][/color][/b] que pasa por el circuncentro [color=#ff0000][b]O[/b][/color] y tiene la dirección de[color=#38761d] [b]J[sup]→[/sup][/b][/color].[br][br]Como la [b][color=#ff0000]c[sub]C[/sub][/color][/b] es la transformada isogonal de [b]r[sub]∞[/sub][/b], los conjugados isogonales de los puntos del infinito de [b][color=#ff0000]h[sub]P[/sub][/color][/b] serán los puntos de intersección [b][color=#38761d]U[/color][/b] y [b][color=#38761d]V[/color][/b] de [b][color=#38761d]OJ[b][color=#38761d][sup]→[/sup][/color][/b][/color][/b] con [color=#ff0000][b]c[sub]C[/sub][/b][/color]. Es decir,[br][br][b][color=#ff0000]Puntos del infinito de h[sub]P[/sub][/color] = [color=#ff0000]h[sub]P[/sub][/color] ⋀ r[sub]∞[/sub][/b][br]   = conjugados isogonales de {transformada isogonal de [b][color=#ff0000]h[sub]P[/sub][/color][/b] ⋀ transformada isogonal de [b]r[sub]∞[/sub][/b]}[br]   = conjugados isogonales de {[b][color=#38761d]OJ[b][sup]→[/sup][/b][/color][/b] ⋀ [b][color=#ff0000]c[sub]C[/sub][/color][/b]}[br][br]Comunicación personal de Francisco Javier García Capitán.[br]