Legyen adott az [i]a[/i] egyenes és a rá nem illeszkedő [i]P[/i] pont. Milyen kapcsolat van a P pontnak az a egyenestől mért [i]d[/i] távolsága és a P-ből [i]a[/i]-ra bocsátott merőlegesnek és a P-n átmenő [i]a[/i]-val egyirányú egyenesnek a szöge között?

A világhírű matematikusok legtöbbjének a nevéhez fűződik egy-egy nevezetes képlet. Bolyai János nevéhez a  [math]th\left(p\cdot d\right)=cos\left(\alpha\right)[/math] másképpen  [math]e^{p\cdot d}=ctg\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/math] alakban leírt összefüggés kapcsolódik, ahol [i]d[/i] egy adott H-egyeneshez és egy erre nem illeszkedő ponthoz tartozó H-távolság, ‑ az un. [i]párhuzamossági távolság, α [/i] az [i]a[/i] egyeneshez és [i]P[/i] ponthoz tartozó [i] elpattanás szöge: [/i] a [i]P[/i]-ből [i]a[/i]-ra bocsátott merőlegesnek az [i]a[/i]-hoz húzott aszimptotikusan párhuzamos (egyirányú) egyenessel bezárt szöge.[br][br]A feladatunk lényegében az, hogy megvizsgáljuk, miként tükröződnek ezek az összefüggések a P-modellen.

Mivel az [i]a[/i] egyenest a végtelen távoli pontjaival adtuk meg, könnyen megszerkeszthetők a [i]P[/i] -re illeszkedő, a-val egyirányú félegyenesek is. [br][br]Most 4 tizedesjegynyi pontosan írattuk ki az adatokat, de ez átírható maximális pontosságúra is. A kétféleképpen előállított adatok között nem nagyobb az eltérés 10[sup]-13[/sup]-nál. Ez természetesen nem igazolja az összefüggéseket, legfeljebb megerősíti a sejtésünket.[br]Az igazolásához Bolyai János zseniális bizonyítása kellett.

Javasoljuk olvasóinknak, hogy vizsgálják meg, melyek azok a numerikus értékek, amelyek az egység megválasztásakor , és melyek azok, amelyek a[i] P[/i] pont, vagy az [i]a[/i] egyenes mozgatásakor változnak. A [i]P[/i] pontot a jelölőnégyzet aktiválásával "rá lehet ültetni" az [i]a[/i] egyenes egy adott hiperciklusára. Ekkor hogyan változnak a numerikus adataink?