[color=#ff7700][i][b][size=85][right]Man beachte den Nachtrag Mai 2022 unten![/right][/size][/b][/i][/color]

[size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/413711]Moebiusebene[/url].([color=#cc0000]Januar 2020[/color])[/right][/size][size=50][right]Dieses Arbeitsblatt ist auch Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]Sechsecknetze[/url][/right][/size][size=85]Der Satz von [b]Graf u. Sauer[/b] besagt, dass ein aus [color=#0000ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color] gebildetes [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus den [color=#0000ff][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] einer [i][b]Kurve 3. Klasse[/b][/i] besteht. [br]Im einfachsten Fall erhält man ein geradliniges [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus den [color=#0000ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color] dreier [color=#741B47][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color] durch je [color=#980000][i][b]3 Punkte[/b][/i][/color].[br]Dies ist der Ausgangspunkt für folgendes [color=#134F5C][i][b]Experiment:[/b][/i][/color] aus den [color=#0000ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color] der 3 Büschel wird ein [color=#ff7700][i][b]Sechseck[/b][/i][/color] gebildet: [br]es besteht aus 7 [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] und 9 [color=#0000ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color], die sich in 6 weiteren [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] schneiden. [br]Nimmt man auf einer der [color=#0000ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color] einen weiteren, beweglichen[color=#ff0000][i][b] Punkt [/b][/i][b]P[sub]0[/sub][/b][/color] hinzu, so läßt sich das [color=#ff7700][i][b]Netz[/b][/i][/color] fortsetzen, [br]wobei die neu hinzukommenden [color=#0000ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color] nicht mehr zu den [color=#741B47][i][b]Geraden-Büscheln[/b][/i][/color] gehören müssen![br]Wenn es ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] ergibt, müssen die [color=#0000ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] an eine [i][b]Kurve 3. Klasse[/b][/i] sein! Siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV#material/dcxxzhdc]die Aktivität zuvor[/url]![br][/size]

[size=85]Für [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] aus [color=#0000ff][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] ist ein solches Experiment wesentlich komplizierter![br]Beginnt man beispielsweise mit den Kreisen [color=#B45F06][i][b]dreier Kreisbüchel[/b][/i][/color], die parweise einen [i][b][color=#e69138]Punkt[/color][/b][/i] gemeinsam haben, [br]so muss man berücksichtigen, dass ein [color=#0000ff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] erst durch [color=#ff0000][i][b]3 Punkte[/b][/i][/color] festgelegt wird.[br]Beginnt man mit einem [color=#ff7700][i][b]6-Eck[/b][/i][/color] aus den [color=#0000ff][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] aus den 3 Büscheln, so muss man 5 + 5 +5 Kreise aus den drei Büschel [br]und die 37 entstehenden Schnittpunkte konstruieren, bis man durch einen weiteren beweglichen [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] [color=#ff0000][b]E[sub]1[/sub][/b][/color] [br]auf einer der [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] das [color=#ff7700][i][b]Netz[/b][/i][/color] unabhängig von den vorgegebenen Kreisbüscheln fortsetzen kann.[br][br]Das [color=#ff00ff][u][b]Ziel [/b][/u][/color]ist ein Hinweis auf Bedingungen für das Vorliegen eines [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzes aus Kreisen[/b][/i][/color].[br]Aus dem Experiment oben entnimmt man nur vage die Existenz von Hüllkurven.[br]Diese können auch imaginär sein (die Kreise einer solchen Schar schneiden sich [i][b]nicht[/b][/i]).[br]Überdies können sich [i][b]Rundungsfehler[/b][/i] bei einer solch langen Kette von quadratischen Schnittpunktsberechnungen [br]chaotisch auswirken! Einige Schnittpunkte scheinen in obigen Applet auch verloren gegangen zu sein, [br]im offline-Applet sind diese Schnittpunkte noch vorhanden![br][br]Beim Applet auf [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV#material/v8kdkb2z]der nächsten Seite[/url] treten weitere Komplikationen auf:[br] - die durch 3 Punkte definierten Kreise werden für [math]t=0[/math] zu Geraden - theoretisch! Praktisch werden sie in [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] zu [br] "[i]doppelten Tangenten durch[/i] [math]\infty[/math]" und blockieren das Applet!![br] - die [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Konfiguration[/b][/i][/color] zu Beginn besteht aus 2*37 Punkten! Die [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color] schneiden sich jeweils in 2 [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color]![br] Beachtet man dies bei der Konstruktion nicht, so kann eine kleine Änderung durch Wechsel der Schnittpunkte [br] auf die "andere" Seite das Bild erheblich durcheinanderbringen![/size]

[size=85][color=#cc0000][u][i][b]Nachtrag Mai 2022[/b][/i][/u][/color][br]In den vorausgegangenen Experimenten wurden die "kleinsten Einheiten" eines [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzes[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] erweitert:[br]Die kleinsten Einheiten eines [color=#ff7700][i][b]Geraden-6-Eck-Netzes[/b][/i][/color] bestehen aus [b]3*3[/b] [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] und [b]13[/b] [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkten[/b][/i][/color].[br]Erweitert wird ein solches "kleinste" Netz durch einen weiteren [i][b]Punkt[/b][/i] auf einem der [color=#ff0000][b][i]Geraden[/i][/b][/color], und die damit entstehenden[br]weiteren [color=#ff0000][i][b]Verbindungsgeraden[/b][/i][/color] und deren [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color].[br]Es scheint in diesen Experimenten tatsächlich so zu sein, dass die erweiterten [color=#ff7700][i][b]Netze[/b][/i][/color] weiter [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] sind![br]Überprüft man die Schließungsbedingung für die entstehenden neuen 6-Ecklagen, so stimmen die [color=#cc0000][b]3[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] [br]im Schlusspunkt eines erweiterten [color=#ff7700][i][b]6-Ecks[/b][/i][/color] meist bis zur 15.-ten Nachkommastelle überein, obwohl mit Rundungsfehlern [br]gerechnet werden muss. [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/j6gm5nqa][color=#0000ff][u][i][b]Erweiterung von Geraden-6-Ecks-Netzen[/b][/i][/u][/color][/url].[br]Die entstehenden [color=#ff7700][i][b]6-Ecknetze[/b][/i][/color], wenn sie denn solche sind, bestehen aus den Tangenten einer Kurve 3. Klasse,[br]und sie stimmen mit dem Ausgangs-Netz in der kleinsten Einheit" überein.[br][br]Bei der Erweiterung von [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzen[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] wollten wir experimentell einen ähnlichen Zusammenhang erkunden.[br]Eine "kleinste Einheit" aus [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] und [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] eines [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzes [/b][/i][/color]besteht aus [b]3*5[/b] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] und [b]37[/b] [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkten[/b][/i][/color].[br]Leider hatten wir versäumt, die [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Bedingung[/b][/i][/color] für Erweiterungen zu überprüfen: [br]in allen [color=#0000ff][i][b][math]\hookrightarrow[/math] [/b][/i][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/hp4qraad][i][b][u]neuen[/u][/b][/i][u][i][b] Versuchen[/b][/i][/u][/url][/color], in welchen wir die Schließungsbedingung rechnerisch überprüft haben, scheint eine [br]Erweiterung nur dann ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] zu ergeben, wenn der zusätzliche [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] zum ursprünglichen [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] gehört![br]Neue [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] konnten auf diesem Wege nicht gefunden werden![br][br][color=#cc0000][u][i][b]Unten: [/b][/i][/u][/color]das Applet oben ergänzt![br][/size]

[size=85][color=#cc0000][u][i][b]Rechts:[/b][/i][/u][/color] [br]Die kleinste "Einheit" eines [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzes[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] besteht aus [b]3*3[/b] [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] und deren [b]13[/b] [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkten[/b][/i][/color].[br]Oben liegt ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus [b]3[/b] [color=#ff0000][i][b]Parallelen-Büscheln[/b][/i][/color] vor, betrachtet als "[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]" haben diese noch den Schnittpunkt [math]\infty[/math][br]gemeinsam.[br]Erweitert man das "kleinste Netz" um einen weiteren Punkt [color=#900000][b]q[/b][/color] auf einer der [color=#ff0000][i][b]Netz-Geraden[/b][/i][/color], so entsteht aus den zusätzlichen [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkten[/b][/i][/color] und geeigneten [color=#ff0000][i][b]Verbindungsgeraden[/b][/i][/color] ein Netz, für welches die [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Schließungsbedingung[/b][/i][/color] [br][color=#0000ff][i][b]rechnerisch[/b][/i][/color] erfüllt zu sein scheint.[br]Bei allen Experimenten dieser Art mit [color=#ff7700][i][b]Geraden-6-Eck-Netzen[/b][/i][/color] haben wir dieselbe Erfahrung gemacht - wir vermuten[br] - Die Erweiterungen von endlichen [color=#ff7700][i][b]Geraden-6-Ecknetzen[/b][/i][/color] sind wieder [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze [/b][/i][/color]aus [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color]. [br]Als solche bestehen sie aus den [color=#ff0000][i][b]Tangenten [/b][/i][/color]einer [color=#0000ff][i][b]Kurve 3. Klasse[/b][/i][/color].[br][br][u][color=#cc0000][i][b]Links: [/b][/i][/color][/u][br]Die "kleinste Einheit" des angezeigten [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzes[/b][/i][/color] aus [color=#ff7700][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] - im vorliegenden Fall sind dies die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]von [color=#ff0000][b]3[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit jeweils einem gemeinsamen [i][b]Pol[/b][/i] - besteht aus [b]3*5[/b] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] und [b]37[/b] [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkten[/b][/i][/color][br]Im Gegensatz zu der Erweiterung von [color=#ff7700][i][b]Geraden-Netzen[/b][/i][/color] fanden wir bei [color=#ff7700][i][b]Kreis-Netzen[/b][/i][/color] keine weiteren [color=#ff7700][i][b]6-Ecknetze[/b][/i][/color], [br]es sei denn, die Erweiterung ist eine [color=#0000ff][i][b]Fortsetzung[/b][/i][/color] des vorhandenen [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netzes[/color][/i][/b]. [br][/size][size=85]Der zusätzliche Punkt [b][color=#cc0000]q[/color][/b] ist dann ein Punkt [b][color=#cc0000]p[/color][/b] des [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netzes[/color][/i][/b] der drei [i][b][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/b][/i].[/size]