BG W GuS 12.1 g.A.

Klaus Schoepe, Sep 7, 2021

Dieses Buch soll den Unterricht im ersten Halbjahr der Qualifikationsstufe - also 12.1 - unterstützen. Der Kurs heißt "Analysis 1", die Themen dieses Halbjahres sind: - Kostentheorie - Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen - Minimalkostenkombination - gebrochenrationale Funktionen - Integralrechnung

Table of Contents

  1. Kostentheorie
    1. Die individuelle Angebotsfunktion
    2. Stückkosten
    3. Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze
    4. Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze
    5. Stückgewinn und Gewinn
    6. Zusammenfassung der Rechen-Rezepte
    7. Aufgaben zur Kostentheorie
  2. Gebrochenrationale Funktionen
    1. Was sind gebrochenrationale Funktionen?
    2. Aus der Wirtschaft: Beispiele
  3. Funktionssynthese
    1. Vorgehensweise
    2. Weitere Bedingungen für Funktionssynthesen
    3. Bedingungen aus der Wirtschaft
    4. Aufgaben mit Wirtschaftsbezug
  4. Produktlebenszyklus
    1. Die Produktlebenszyklusfunktion
  5. Minimalkostenkombination
    1. Produktionsfaktoren, Isoquanten, Isokostenfunktion
    2. Die Isoquanten-Funktionsgleichung
    3. Die Isokostenkurve
    4. Minimalkostenkombination
    5. Minimalkostenkombination berechnen
    6. Mögliche Aufgabenstellungen
  6. Integralrechnung
    1. Integrieren ist "Aufleiten"
    2. Üben der Integrationsregeln
    3. Die Integrationskonstante
    4. Integrale und Flächen
    5. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
    6. Flächen und Flächenbilanzen
    7. Fläche zwischen zwei Graphen
  7. Integrale in Wirtschaftsanwendungen
    1. Kosten, Erlös, Gewinn
    2. Konsumenten- und Produzentenrente
    3. Produktlebenszyklus

1.

Kostentheorie

Die Kostentheorie beschreibt die Marktsituation im Polypol. Hier werden die Funktionen der Kosten, der variablen Kosten, der Grenzkosten, der Stückkosten und der variablen Stückkosten betrachtet. Damit werden das Betriebsoptimum und das Betriebsminimum, der Stückgewinn und der Gewinn berechnet. Mathematisch wird hier mit den Stückkosten das Thema der gebrochenrationale Funktionen gestreift.

  • 1. Die individuelle Angebotsfunktion
  • 2. Stückkosten
  • 3. Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze
  • 4. Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze
  • 5. Stückgewinn und Gewinn
  • 6. Zusammenfassung der Rechen-Rezepte
  • 7. Aufgaben zur Kostentheorie

1.1.

Die individuelle Angebotsfunktion

Die individuelle Angebotsfunktion
In einem Polypol wird der Preis eines Gutes vom Markt, also von der Konkurrenz festgelegt. Daher ist die Preis-Absatzfunktion [math]p(x)[/math] für alle Ausbringungsmengen [math]x[/math] konstant. Also [math]p(x)=p[/math] .[br]Damit ist die Erlösfunktion die lineare Funktion [math]E(x)=p\cdot x[/math] und die Gewinnfunktion lässt sich schreiben, als: [math]G(x)=E(x)-K(x)=p\cdot x-K(x)[/math]. [math]K(x)[/math] ist dabei Ihre individuelle Kostenfunktion für Ihr Unternehmen. [br]Unternehmen streben in der Regel das Gewinnmaximum an, also versuchen sie, genau die Menge [math]x_{max}[/math] an Waren zu verkaufen, mit der ihr Gewinn am größten ist.[br][br]Um die Stelle zu berechnen, an der die Gewinnfunktion maximal ist, muss die Ableitung der Gewinnfunktion gleich Null gesetzt werden (notwendige Bedingung für Extremstellen), also [math]G'(x_{max})=0[/math].[br][br]Das machen wir nun mit der Gewinnfunktion [math]G(x)=p\cdot x-K(x)[/math] (s.o.). Die Ableitungsfunktion dieser Funktion lautet [math]G'(x)=p-K'(x)[/math]. Für den maximalen Gewinn gilt daher: [math]0=p-K'(x_{max})[/math]. Wenn man diese Gleichung nach dem Preis [math]p[/math] umstellt, dann gilt offenbar: [br][math]p=K'(x_{max})[/math][br]Das heißt, [b][color=#45818e]wenn bei einer Ausbringungsmenge [math]x_{max}[/math] die Grenzkostenfunktion [math]K'(x_{max})[/math] [/color][/b][b][color=#45818e][b][color=#45818e][b][color=#45818e] gleich dem Preis der Ware[/color][/b] [/color][/b]ist, dann ist der Gewinn maxima[/color][/b][color=#45818e][b]l.[/b][/color] [b][br]Daher nennt sich in einem Polypol die Grenzkostenfunktion auch die[/b] [color=#980000][b]individuelle Angebotsfunktion[/b][/color].[br][br]Hinweis: In späteren Kapiteln wird dieses [math]x_{max}[/math] auch einfach [math]x_g[/math] genannt.[br]
Aufgabe: Kostenfunktion und individuelle Angebotsfunktion
Gegeben ist die Kostenfunktion [math]K(x)=x^3-12\cdot x^2+54\cdot x+80[/math] (siehe Abbildung).[br]Berechne dazu (möglichst händisch) die individuelle Angebotsfunktion und füge diese auch in das unten stehende Koordinatensystem ein (in die Eingabezeile).
Analyse des Funktionsgraphen der Kostenfunktion
[list=1][*]Der Funktionsgraph zeigt eine typische sogenannte [b]ertragsgesetzliche Kostenfunktion[/b]. Was sind die Erkennungsmerkmale so einer Funktion?[/*][*]Warum hat eine Kostenfunktion in der Regel eine solche Form?[br][/*][/list]
Warum hat der Funktionsgraph der individuellen Angebotsfunktion weder Nullstellen, noch negative Funktionswerte?
– Klaus Schoepe

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

2.

Gebrochenrationale Funktionen

  • 1. Was sind gebrochenrationale Funktionen?
  • 2. Aus der Wirtschaft: Beispiele

2.1.

Was sind gebrochenrationale Funktionen?

Was sind gebrochenrationale Funktionen?
Gebrochenrationale Funktionen bestehen - wie der Name schon sagt - aus einem Bruch: [math]f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}[/math].[br]Dabei sind die Zählerfunktion [math]z(x)[/math] und die Nennerfunktion [math]n(x)[/math] ganzrationale Funktionen.[br]Die Zählerfunktion darf auch eine konstante Funktion sein, also z.B. [math]z(x)=2[/math]. Die Nennerfunktion muss aber mindestens eine ganzrationale Funktion ersten Grades sein.[br][br][b]Beispiele für gebrochenrationale Funktionen sind[/b]:[br][math]f(x)=\frac{1}{x}[/math][br][math]g(x)=\frac{x^3-4x^2-7x+8}{x^2-3x-10}[/math][br][math]h(x)=\frac{(x+3)\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x-5)}{(x+2)\cdot(x+1)\cdot(x-1)}[/math][br]Beispiele aus der Wirtschaft:[br]Eine Stückkostenfunktion:[math]k(x)=\frac{x^3-8\cdot x^2+24\cdot x+10}{x}=x^2-8\cdot x+24+\frac{10}{x}[/math][br]oder die variablen Stückkosten: [math]k_V(x)=\frac{x^3-8\cdot x^2+24\cdot x}{x}[/math][br]Eine Isoquante: [math]I_q:y(x)=\frac{5,4}{x-2,5}+4[/math][br]
Nullstellen und Definitionslücken
Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion [math]f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}[/math][br][list][*]Die Nullstellen der Zählerfunktion [math]z(x)[/math] sind auch die [color=#980000][b]Nullstellen[/b][/color] der Funktion [math]f(x)[/math].[/*][*]Die Nullstellen der Nennerfunktion [math]n(x)[/math] sind [color=#980000][b]Definitionslücken[/b][/color] der Funktion [math]f(x)[/math].[/*][/list]
Definitionslücken
Was sind Definitionslücken? Hat eine gebrochenrationale Funktion eine Definitionslücke, dann existiert an dieser Stelle kein Funktionswert, die Mathematiker sagen "der Funktionswert ist dort nicht definiert". Denn wenn die Nennerfunktion [math]n(x)[/math] eine Nullstelle hat, dann müsste man, um den Funktionswert von [math]f(x)[/math] zu berechnen, durch Null teilen. Und nichts ist in der Mathematik so sehr verboten, wie durch Null zu teilen (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/zkz8s5re]hier[/url]).[br][br]Die Funktionsgrafen von gebrochenrationalen Funktionen sind eine schöne Veranschaulichung, [i]warum[/i] man nicht durch Null teilen darf. Denn an all den Stellen, an denen die Nennerfunktion Nullstellen hat, scheint der Funktionsgraph "[i][color=#980000][b]zu explodieren[/b][/color][/i]" (--> Polstellen).[br][br][color=#980000][b][size=150]Es gibt verschiedene Arten von Definitionslücken:[/size][/b][/color]
Polstellen mit Vorzeichenwechsel
Wenn eine [i]einfache[/i] oder eine[i] dreifache [/i]Nullstelle in der Nennerfunktion vorliegt, dann entsteht eine Polstelle mit Vorzeichenwechel (VZW). Hier [b]explodiert[/b] der Funktionsgraph an der Polstelle, d.h. er verschwindet auf der einen Seite nach [math]-\infty[/math] und kommt auf der anderen Seite der Polstelle aus [math]+\infty[/math] wieder. [br]In der folgenden App kann man die Polstelle verschieben und beobachten, wie sich dabei der Funktionsterm verändert.
Polstellen mit Vorzeichenwechel
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
Wenn eine doppelte oder eine vierfache Nullstelle in der Nennerfunktion vorliegt, dann entsteht eine Polstelle ohne VZW. D.h. die Funktion verschwindet z.B. nach [math]+\infty[/math] und kommt hinter der Polstelle auch aus [math]+\infty[/math] wieder. [br][br]Die unten dargestellte Funktion hat zwei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel. Verschiebe die Polstellen und sieh, wie sich der Funktionsgraph und die Funktionsgleichung dabei verändern:
Polstellen ohne Vorzeichenwechsel
(Be-)Hebbare Definitionslücken
Wenn eine ganzrationale Funktion Nullstellen hat, dann lässt sie sich faktorisieren, d.h. in Linearfaktordarstellung schreiben: [math]g(x)=(x-x_{N1})\cdot(x-x_{N2})\cdot...[/math][br]Wenn in einer gebrochenrationalen Funktion an der gleichen Stelle eine Nullstelle in der Zählerfunktion [math]z(x)[/math] und auch in der Nennerfunktion [math]n(x)[/math] vorliegt, dann könnte man die Linearfaktoren zu diesen Nullstellen einfach wegkürzen. [b]Trotzdem bleibt hier ein "Loch" im Funktionsgraphen[/b]. Solche Definitionslücken nennt man [color=#980000][b]hebbare Definitionslücken[/b][/color]:[br][br]Beispiel:[br] [math]f(x)=\frac{x\cdot(x-2)\cdot(x-3)}{(x+1)\cdot(x-2)}[/math] Hier haben Zähler- und Nennerfunktion eine Nullstelle bei [math]x=2[/math]. Der Linearfaktor könnte also einfach gekürzt werden. Tatsächlich sieht der Funktionsgraph dieser Funktion genau so aus, wie der von [math]f_1(x)=\frac{x\cdot(x-3)}{x+1}[/math].[br]Da man beim Kürzen aber den Zähler und den Nenner des Bruches durch [math](x-2)[/math] teilen muss, teilt man hier - wenn [math]x=2[/math] ist - durch Null! Das ist nach wie vor verboten. Das heißt obwohl der Funktionsgraph von [math]f(x)[/math] genau so aussieht, wie der von [math]f_1(x)[/math], ist er nicht der gleiche, denn er hat ein "Loch" bei [math]x=2[/math]. Probieren Sie es aus: in der folgenden Animation ist die Funktion abgebildet. Mit dem Schieberegler lässt sich ein [math]x[/math] wählen und Sie sehen, wie sich der Punkt [math]\mathbf{A}[/math] auf dem Funktionsgraphen mit dem [math]x[/math] verschiebt.
Was passiert bei [math]x=2[/math]?
– Klaus Schoepe

2.2.

–

3.

Funktionssynthese

  • 1. Vorgehensweise
  • 2. Weitere Bedingungen für Funktionssynthesen
  • 3. Bedingungen aus der Wirtschaft
  • 4. Aufgaben mit Wirtschaftsbezug

3.1.

Vorgehensweise

Wozu braucht man das?
Bisher waren alle Funktionsgleichungen durch Aufgabenzettel oder Mathematikbücher vorgegeben. Woher kommen diese Funktionsgleichungen? Tatsächlich kann sich jeder auch selbst maßgeschneiderte Funktionsgleichungen erstellen. Das heißt es ist möglich, Funktionsgleichungen zu finden, die tatsächlich auf realen Messwerten beruhen. Im Folgenden wird beschrieben, wie das geht.[br]In diesem Kapitel werden wir nur [b]ganzrationale Funktionen[/b] erstellen. Wer nicht mehr so genau weiß, was das ist, [url=https://www.geogebra.org/m/bskfmr3j]kann hier noch einmal nachschauen[/url].[br]Unter anderem finden wir unter dem oben stehenden Link folgende Aussage: [color=#980000]Eine Funktion [math]n[/math]-ten Grades ist durch [math]n+1[/math] Punkte eindeutig bestimmt[/color]. [br][list][*]Wenn ich 5 Punkte vorgegeben habe, durch die mein Funktionsgraph verlaufen soll, dann kann das nur mit einer Funktion 4-ten Grades geschehen. [/*][*]Wenn ich eine Funktion 3-ten Grades erzeugen möchte, dann brauche ich dazu 4 Informationen, zum Beispiel 4 Punkte, die der Funktionsgraph schneiden soll.[/*][/list]
Die Vorgehensweise - ein Rezept
[list=1][*]Einen [b][color=#980000]Prototyp[/color][/b] für die Funtionsgleichung bestimmen: Als erstes muss man sich im Klaren sein, was für eine Funktion erstellt werden soll. Eine Funktion ersten, zweiten oder dritten oder noch höheren Grades? Wenn diese Entscheidung gefallen ist, dann kann für diese Funktion ein Prototyp erstellt werden. Für eine Funktion 3-ten Grades lautet der Prototyp: [math]f(x)=a_3\cdot x^3+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math][/*][*]Welche [b][color=#980000]Bedingungen[/color][/b] soll diese Funktion erfüllen. [b]Man braucht so viel Bedingungen, wie unbekannte Parameter im Prototyp[/b] zu finden sind. Im Prototyp der Funktion 3-ten Grades sind dieses die Zahlen [math]a_3[/math], [math]a_2[/math], [math]a_1[/math] und [math]a_0[/math]. Es werden also vier Bedingungen benötigt, das können zum Beispiel 4 Punkte sein, die der Funktionsgraph schneiden soll.[/*][*]Aus diesen Bedingungen wird ein [b][color=#980000]Gleichungssystem[/color][/b] erstellt.[/*][*]Dieses [b][color=#980000]Gleichungssystem wird gelöst[/color][/b]. Händisch mit dem [i]Gauß'schen Algorithmus [/i]oder mit einem Taschenrechner. In unserem Beispiel dritten Grades erhält man als Ergebnis sind die Zahlen [math]a_3[/math], [math]a_2[/math], [math]a_1[/math] und [math]a_0[/math], die dann in den Prototyp eingesetzt werden und fertig ist die gesuchte Funktionsgleichung.[br][/*][/list]
Ein Beispiel:
Hier ist das Bild von einem Wasserstrahl. Ein Wasserstrahl ist immer eine Parabel, das heißt eine Funktion zweiten Grades. Für eine Funktion zweiten Grades braucht man drei Bedingungen, also zum Beispiel 3 Punkte. Wenn die Rechnung fertig ist, dann kann die gefundene Gleichung unten in die Eingabezeile eingetragen werden und dann sollte der dadurch entstehende Funktionsgraph genau auf dem Wasserstrahl liegen. Probieren Sie wir es aus:
Lösung zu Strahl1:
[list=1][*]Da das Ergebnis eine Parabel, eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, sein muss, ist der gesuchte Prototyp der Funktion: [math]f(x)=a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math][/*][*]Nun suchen wir uns drei Punkte heraus, die möglichst genau auf der Parabel liegen: [math]A(1|3)[/math], [math]B(4|6)[/math] und [math]C(8|3)[/math]. Wenn der Funktionsgraph von [math]f(x)[/math] durch den Punkt [math]A(1|3)[/math] geht, dann heißt dass für die Funktionsgleichung, dass [math]f(1)=3[/math]. Genauso gilt dann für den Punkt [math]B[/math], dass [math]f(4)=6[/math] und für [math]C[/math], dass [math]f(8)=3[/math].[/*][*]Diese drei Bedingungen können nun in den Prototypen eingesetzt werden, und wir erhalten ein Gleichungssystem: [br][img]data:image/png;base64,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[/img][/*][*]Dieses Gleichungssystem lässt sich mit einem CAS-Taschenrechner lösen: Hier am Beispiel des HP-Prime:[/*][/list][list][*] Speichern Sie den Term [b][color=#0000ff]a2*x^2 + a1*x + a0[/color][/b] unter dem Namen [b][color=#0000ff]f(x)[/color][/b] ab[/*][*] Dann: [b][color=#0000ff]solve( { f(1)=3 , f(4)=6 , f(8)=3 } , { a2, a1, a0})[/color][/b] Dabei dürfen Sie keine Klammer und auch kein Komma vergessen. Statt [color=#0000ff]{ a2, a1, a0}[/color] kann auch [color=#0000ff][[/color][color=#0000ff] a2, a1, a0][/color] geschrieben werden.[/*][*]Als Ergebnis erhält man: [math]a_2=-\frac{1}{4}[/math], [math]a_1=\frac{9}{4}[/math] und [math]a_0=1[/math] [/*][*]Einsetzen in den Prototyp und wir erhalten die gesuchte Funktionsgleichung: [math]f(x)=-\frac{1}{4}\cdot x^2+\frac{9}{4}\cdot x+1[/math][/*][/list][br][b][size=150]Die Belohnung:[/size][/b][br]Nun geben Sie in die Eingabezeile oben diese Gleichung ein. Der Funktionsgraph, der dabei entsteht sollte tatsächlich genau auf dem Wasserstrahl liegen. Probieren Sie es aus.[br]
Weitere Aufgaben
Auf der Geogebra-Animation oben lassen sich noch weitere Wasserstrahlen betrachten. Berechnen Sie auch dazu die Funktionsgleichungen. [br]Sie können Ihr Ergebnis selbst auf Richtigkeit prüfen, indem Sie das Ergebnis in die Eingabezeile eingeben. Dann sollte Ihr Funktionsgraf - wenn er richtig ist - genau auf dem Wasserstrahl des Bildes liegen.
– Klaus Schoepe

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Produktlebenszyklus

  • 1. Die Produktlebenszyklusfunktion

4.1.

Die Produktlebenszyklusfunktion

Der Produktlebenszyklus ist ein Konzept der Betriebswirtschaftslehre, das den Prozess von der Markteinführung bzw. Fertigstellung eines marktfähigen Produktes bis zu seiner Herausnahme aus dem Markt beschreibt. ([url=https://de.wikipedia.org/wiki/Produktlebenszyklus]Wikipedia[/url])[br]Das heißt die Abszisse ist beim Produktlebenszyklus nicht - wie sonst meistens - die Warenmenge [math]x[/math], sondern hier ist auf der Abszisse die Zeit abgetragen, zum Beispiel in Jahren. Auf der Ordinate des Funktionsgraphen der Produktlebenszyklusfunktion liest man den Umsatz pro Zeiteinheit ab, z.B. pro Monat.[br]Im Bild unten ist eine solche Funktion abgebildet. Das Produkt kommt bei [math]t=0[/math] auf den Markt und wird offenbar nach 10 Jahren wieder vom Markt genommen, weil es zum Beispiel ein Folgeprodukt gibt.[br]
Eine Funktionssynthese für einen Produktlebenszyklus
Ein Produkt kommt bei t=0 auf den Markt. Nach 4 Jahren ist der monatliche Umsatz mit 216 GE/Monat am höchsten. Nach 8 Jahren geht der Umsatz am stärksten zurück und nach 10 Jahren wird das Produkt vom Markt genommen
– Klaus Schoepe

5.

Minimalkostenkombination

  • 1. Produktionsfaktoren, Isoquanten, Isokostenfunktion
  • 2. Die Isoquanten-Funktionsgleichung
  • 3. Die Isokostenkurve
  • 4. Minimalkostenkombination
  • 5. Minimalkostenkombination berechnen
  • 6. Mögliche Aufgabenstellungen

5.1.

Produktionsfaktoren, Isoquanten, Isokostenfunktion

Die Minimalkostenkombination
Für die Herstellung von Produkten oder auch bei Dienstleistungen braucht man unterschiedliche Produktionsfaktoren. Eine recht grobe Unterteilung sind die Produktionsfaktoren[br][list][*]Boden[/*][*]Arbeitskraft (Arbeitnehmer mal Arbeitsstunden)[br][/*][*]Kapital[/*][*]Wissen[br][/*][/list][b]Ein Beispiel[br][/b]Der Unternehmen [b][i]GrasEx[/i][/b] bietet den Service "Rasen mähen". Das kann es auf unterschiedliche Weise realisieren. Als mathematischen Extremfall könnte es viele viele Angestellte jeweils mit einer Nagelschere ausstatten und diese zum Mähen schicken. Dann braucht das Unternehmen eine große Menge des Produktionsfaktors Arbeitskraft und nur wenig vom Produktionsfaktor Kapital, d.h. nur wenig Geld für das Arbeitsmaterial auszugeben, Nagelscheren kosten nicht viel. Wahrscheinlicher ist, dass die Angestellten von [b][i]GrasEx[/i] [/b]jeweils einen Rasenmäher gestellt bekommen. Rasenmäher sind aber viel teurer als Nagelscheren, daher muss [i][b]GrasEx[/b][/i] mehr Kapitel einsetzen um Geräte zu kaufen. Allerdings kann dann beim Produktionsfaktor Arbeit gespart werden, denn fünf Arbeiter mit Rasenmäher schaffen vermutlich genau so viel, wie 500 mit einer Nagelschere. Vielleicht investiert das Unternehmen aber auch in "Aufsitzrasenmäher", die in kurzer Zeit sehr große Flächen mähen können. Dann wird noch einmal mehr vom Produktionsfaktor Kapital (für die Rasenmäher) benötigt aber viel weniger vom Produktionsfaktor Arbeitskraft. Schafft [i][b]GrasEx[/b][/i] sich schließlich sehr teure Mähroboter an, dann braucht das Unternehmen nur noch Personal, um dieRoboter an den Einsatzort zu bringen und wieder abzuholen.[br]Das heißt die Firma [i][b]GrasEx[/b][/i] kann mit unterschiedlichen Kombinationen der Produktionsfaktoren Arbeitskraft und Kapital jeweils die gleiche Menge Rasen mähen. Natürlich versucht [i][b]GrasEx[/b][/i] die [i][b][color=#980000]Minimalkostenkombination[/color][/b][/i] zu finden, also die Kombination von Arbeitskraft und Kapital, die am Ende am wenigsten kostet.
Dabei tun sich drei Fragen auf:
[list=1][*][b]Welches sind die Kombinationen, mit denen man gleich viel Ertrag erreicht? [/b]Diese Kombinationen können mit einer Funktionsgleichung, der [i][b][color=#980000]Isoquante[/color][/b][/i] bestimmt werden.[/*][*][b]Wie viel kosten diese Kombinationen[/b]?[br]Um das zu klären, erstellen wir eine [i][b][color=#980000]Isokostenfunktion[/color][/b][/i]. Diese Funktion beschreibt, welche Kombinationen von Produktionsfaktoren es für die gleichen Kosten gibt. Diese Kombinationen führen also alle zu den gleichen Kosten, können aber völlig unterschiedliche Erträge bringen.[/*][*][b]Welche Kombination von Produktionsfaktoren kostet am wenigsten?[/b][br]Wenn wir diese beiden Funktionsgleichungen gefunden haben, die [i][b]Isoquante[/b][/i] und die [i][b]Isokostenfunktion[/b][/i], dann können wir auch die Kombination von Produktionsfaktoren berechnen, die die wenigsten Kosten verursacht. Und genau das ist die [i][b][color=#980000]Mnimalkostenkombination[/color][/b][/i].[br][/*][/list]
– Klaus Schoepe

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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6.

Integralrechnung

  • 1. Integrieren ist "Aufleiten"
  • 2. Üben der Integrationsregeln
  • 3. Die Integrationskonstante
  • 4. Integrale und Flächen
  • 5. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  • 6. Flächen und Flächenbilanzen
  • 7. Fläche zwischen zwei Graphen

6.1.

Integrieren ist "Aufleiten"

Wenn zum Beispiel eine Funktion [math]f(x)[/math] gegeben ist, dann ist es mit den Ableitungsregeln aus der 11ten Klasse (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/fqrd6bqm#material/ww2wyhwq]Regeln[/url] und [url=https://www.geogebra.org/m/xermrhmr]Übungen[/url]) ein Leichtes, die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] zu berechnen. Genauso ist es einfach, durch weiteres Ableiten die Funktionen [math]f''(x)[/math] und [math]f'''(x)[/math] zu erhalten.[br]Aber kann man auch [math]f(x)[/math] berechnen, wenn nur die erste Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] gegeben ist? Kann man "aufleiten"? [i]Im Prinzip ja[/i], sagen die Mathematiker, sie nennen das allerdings nicht [i]aufleiten[/i], sondern [color=#980000][b][i]integrieren[/i][/b][/color]. [br]Um eine Funktion zu integrieren muss das Ableiten also "umgedreht" werden. Das ist gar nicht so schwer:
Aufgabe 1: Eine leichte Übung zu Beginn
Gegeben sind die Ableitungsfunktionen [br][math]f'(x)=2\cdot x[/math], [br][math]g'(x)=3\cdot x^2[/math] und [br][math]h'(x)=10\cdot x^9[/math]. [br]Wie lauten die Gleichungen der Funktionen [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] und [math]h(x)[/math] dazu?
Haben Sie es gewusst? Gratuliere, dann haben Sie das erste mal in Ihrem Leben erfolgreich integriert.
Aufgabe 2: Nun wird es schwerer
Wir integrieren die Ergebnisse von oben noch einmal: Gegeben sind die Ableitungsfunktionen[br][math]f'(x)=x^2[/math],[br][math]g'(x)=x^3[/math] und[br][math]h'(x)=x^{10}[/math][br]Wie lauten die Gleichungen der Funktionen [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] und [math]h(x)[/math]?[br][br][b]Ein Tipp[/b]: Wenn Sie Ihr Ergebnis wieder ableiten und es kommen oben stehende Funktionen dabei heraus, dann haben sie alles richtig gemacht.
Wie schreibt man das auf?
Wenn man eine Funktionsgleichung [math]f(x)[/math] ableitet, dann schreibt man einfach einen Strich hinter ihren Namen und erhält die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math]. Die Schreibweise beim Integrieren ist etwas komplizierter:[br][math]f(x)=\int f'(x)dx[/math][br]oder [br][math]F(x)=\int f(x)dx[/math][br]Wenn man die Namen der Funktionen durch ihre Terme ersetzt, dann könnte das so aussehen:[br]ist [math]f(x)=5x^4[/math], dann gilt [math]F(x)=\int f(x)dx=\int5x^4dx=x^5[/math] [br]Eigentlich schreiben die Mathematiker noch ein [math]+c[/math] dahinter, aber dazu kommen wir später.[br]Was die Symbole [math]\int[/math] und [math]dx[/math] bedeuten, wird auch später geklärt. [math]\int[/math] heißt [color=#980000][i][b]Integralzeichen[/b][/i][/color] und [math]dx[/math] nennt man [color=#980000][i][b]Differential[/b][/i][/color].[br]Die Funktion, die man beim Integrieren herausbekommt, nennt man eine [i][b]Stammfunktion[/b][/i]. [math]f(x)[/math] ist also eine Stammfunktion von [math]f'(x)[/math] und [math]F(x)[/math] ist eine Stammfunktion von [math]f(x)[/math]. Für die Bezeichnung von Stammfunktionen verwendet man gerne große Buchstaben.
Integrationsregeln
Wie für das Ableiten von Funktionsgleichungen gibt es auch für das Integrieren Rechenregeln. Die einfachsten Regeln heißen auch genau so wie in der Differentialrechnung:[br][list][*]Potenzregel[/*][*]Faktorregel[/*][*]Summenregel[br][/*][/list]
Aufgabe 3: Finden Sie die Potenzregel der Integralrechnung
Sie kennen aus der Differentialrechnung die Potenzregel: [br]Wenn [math]f(x)=x^n[/math], dann ist [math]f'(x)=n\cdot x^{n-1}[/math].[br]Wie lautet die Potenzregel der Integralrechnung? Wenn Sie die Lösungen für Aufgabe 2 gefunden haben, dann müssen Sie die Regel, dei Sei dabei verwendet haben, nur noch allgemein aufschreiben, also [br]gegeben ist die Funktion [math]f(x)=x^n[/math]. Wie lautet[br][math]F(x)=\int f(x)dx=\int x^ndx=?[/math]
Aufgabe 4: Finden Sie die Faktorregel der Integralrechnung
In der Differentialrechnung gilt die Faktorregel: [br]Ist [math]f(x)=c\cdot g(x)[/math], dann ist [math]f'(x)=c\cdot g'(x)[/math][br]Wie könnte die Faktorregel der Integralrechnung lauten?[br][math]\int c\cdot g(x)dx=?[/math]
Aufgabe 5: Finden Sie die Summenregel der Integralrechnung
In der Differentialrechnung gilt die Summenregel:[br]ist [math]f(x)=g(x)\pm h(x)[/math], dann ist [math]f'(x)=g'(x)\pm h'(x)[/math][br][br]Wie könnte die Summenregel in er Integralrechnung lauten?[br][math]\int(g(x)+h(x))dx=?[/math]
Im nächsten Kapitel kann man diese Regeln ein wenig üben.
– Klaus Schoepe

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.6.

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6.7.

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7.

Integrale in Wirtschaftsanwendungen

  • 1. Kosten, Erlös, Gewinn
  • 2. Konsumenten- und Produzentenrente
  • 3. Produktlebenszyklus

7.1.

Kosten, Erlös, Gewinn

Sie wollen eine Bäckerei für Bio-Brötchen eröffnen. Bei einer Geschäftseröffnung gibt es einiges zu planen: Als erstes kalkulieren Sie Ihren Erlös. Der Anbauverband "Bioland" stellt Ihnen aus den Erfahrungen anderer Bio-Bäckereien eine Grenzerlös-Funktion zur Verfügung: [math]E'(x)=-10x+100[/math], dabei entspricht eine Einheit der Warenmenge [math]x[/math] 100 Brötchen und der Erlös ist in Euro angegeben.[br]
Erlös- und Preisfunktion bestimmen
Berechnen Sie ...[br][list=1][*]die Erlösfunktion [math]E(x)[/math] und [/*][*]die Preisfunktion [math]p(x)[/math].[/*][/list]
Ihre Fixkosten betragen [math]K_{fix}=200[/math]€. Sie bekommen außerdem die Grenzkostenfunktion [math]K'(x)=3x^2-20x+40[/math] von "Bioland" gestellt. Wie lautet die Kostenfunktion [math]K(x)[/math]?
Eine ähnliche Situation wie oben: Sie planen wieder die Bio-Brötchen-Bäckerei. Dieses Mal sind wieder die Fixkosten von 200€ gegeben und die Grenzgewinnfunktion: [math]G'(x)=-3 \; x^{2} + 10 \; x + 60[/math][br]Berechnen sie die Gewinnfunktion [math]G(x)[/math]
– Klaus Schoepe

7.2.

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7.3.

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