Mějme libovolnou kružnici se středem [math]S[/math] a na ní body [math]C[/math] a [math]D[/math]. Úhel [math]\sphericalangle CSD = \alpha[/math] je středový úhel příslušný oblouku [math]CD[/math]. Pro jeden oblouk existuje vždy jen jeden středový úhel.
Zvolme si bod [math]B[/math] mimo oblouk [math]CD[/math]. Úhel [math]\sphericalangle CBD = \beta[/math] je obvodový úhel příslušný oblouku [math]CD[/math]. Pro jeden oblouk existuje nekonečně mnoho obvodových úhlů.
Platí, že: [math]|\sphericalangle CSD| = 2 \cdot |\sphericalangle CBD|[/math].[br][br][u]Důkaz: [br][/u]1. situace: [math]B\in\leftrightarrow SD[/math][br][br][math]|BS|=|CS|=|DS|=r[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Delta CSB[/math]je rovnoramenný.[br][math]|\sphericalangle CBS| = |\sphericalangle BCS| = \beta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]|\sphericalangle CSB| = 180 - 2\beta[/math][br][math]|\sphericalangle CSD| = 180 - (180 - 2\beta) = 2\beta[/math] (dopočet do 180°- vedlejší úhly)[br]
2. situace: [math]B\in o_{CD}[/math][br][br][math]F\in CD\cap o_{CD}[/math][br][math]2 \cdot |\sphericalangle CBS| = |\sphericalangle CSF|[/math] (z předchozí situace) [math]\Rightarrow[/math][br][math]2\cdot(\beta_1+\beta_2)=\alpha_1+\alpha_2[/math][br][math]2 \cdot |\sphericalangle CBD| = |\sphericalangle CSD|[/math]
3. situace[br][math]F\in\mapsto BS\cap k[/math][br][math]|\sphericalangle CSF| = 2 \cdot |\sphericalangle CBF|[/math] (první situace - oblouk CF)[br][math]|\sphericalangle DSF| = 2 \cdot |\sphericalangle DBF| [/math](první situace - oblouk DF)[br][math]|\sphericalangle CSD| = |\sphericalangle CSF| - |\sphericalangle DSF| = 2 \cdot (|\sphericalangle CBF| - |\sphericalangle DBF|) = 2 \cdot |\sphericalangle CBD|[/math][br][br]