Valor de máximo, ou mínimo, e imagem

Seja [math]f[/math] a função quadrática dada por [math]f(x)=ax^2+bx+c[/math], com [math]a\ne0[/math]. Após esboçar o gráfico da função podemos concluir que [math]f[/math] possui [b]valor máximo[/b] ou [b]valor mínimo[/b], que corresponde à ordenada do vértice da parábola. [br][br]Observação 1: Também dizemos que a função [math]f[/math] possui [i]ponto de máximo[/i] ou [i]ponto de mínimo[/i], que corresponde ao vértice da parábola.[br][br]Observação 2: Devemos lembrar que a ordenada do vértice é dada por [math]y_v=-\frac{\Delta}{4a}[/math]. Já o vértice da parábola é dado por [math]V=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math]

Reflexão 1

Marque a caixa "Coeficientes", altere o parâmetro "a" e observe qual a característica que define se a função possui valor máximo, ou mínimo. A partir disso, é possível afirmar que:

[math]f[/math]possui valor máximo quando [math]a>0[/math]. [math]f[/math] possui valor mínimo quando [math]a>0[/math]. [math]f[/math] possui valor mínimo quando [math]a<0[/math]. [math]f[/math] possui valor máximo quando [math]a<0[/math].

Exercício 1

Deixe marcada apenas a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros “a” para -1,"b" para -4 e “c” para 2. Nesse caso, a função será igual a [math]f(x)=-x^2-4x+2[/math]. O [b]valor máximo[/b] da função é:

-2 6 -6 2

Exercício 2

Deixe marcada apenas a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros “a” para 1,"b" para - 2 e “c” para 3. Nesse caso, a função será igual a [math]f(x)=x^2-2x+3[/math]. Nesse caso, o [b]valor de x[/b] para o qual [math]f(x)[/math] assume [i]valor mínimo[/i] é:

-2 1 2 -1

Conujunto Imagem da Função Quadrática

A partir do ponto de máximo, ou mínimo, é possível determinar o [b]conjunto imagem[/b] de [math]f[/math]. Deste modo, temos que: [br][br]Quando [math]a>0[/math], o conjunto imagem será dado por [math]Im\left(f\right)=\left\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge y_v\right\}[/math];[br]Quando [math]a<0[/math], o conjunto imagem será dado por [math]Im\left(f\right)=\left\{y\in\mathbb{R}\mid y\le y_v\right\}[/math].[br][br]Vejamos no exemplo a seguir, em roxo, os possíveis valores que a imagem da função pode assumir. [br]

Exercício 3

Marque a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros de modo a obter a função quadrática [math]f(x)=-x²+4x[/math]. Em seguida, determine o conjunto imagem de [math]f[/math].

[math]I=\left\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge4\right\}[/math] [math]I=\left\{y\in\mathbb{R}\mid y\le4\right\}[/math]

Exercício 4

Marque a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros de modo a obter a função quadrática [math]f(x)=0,5x^2+2x+3[/math]. Em seguida, determine o conjunto imagem de [math]f[/math].

[math]I=\left\{y\in\mathbb{R}\mid y\le1\right\}[/math] [math]I=\left\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge1\right\}[/math]