[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/dae7kgkv][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][right][size=85][i][color=#ff00ff]translation is in progress[/color][/i][/size][br][/right]

[size=85]In einer Schar [b][i][color=#38761d]konfokaler[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularer Quartiken[/color][/i][/b] liegen genau [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b].[br]Eine [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] nennen wir [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b], wenn sie das Bild einer [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] unter einer [br][b][i][color=#0000ff]Möbius-Transformation[/color][/i][/b] ist. ([math]\hookrightarrow[/math] [b][u][color=#0000ff][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Cassinische_Kurve]wikipedia Cassinische_Kurve[/url][/color][/u][/b])[br]Eine [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] ist [b][i][color=#900000]euklidisch[/color][/i][/b] definiert durch eine Gleichung der Form[br][/size][list][*][size=85][math]\left|z-f_1\right|^2\cdot\left|z-f_2\right|^2=r^2[/math] mit Konstanten [math]f_1,f_2\in\mathbb{C}[/math] und [math]r\in\mathbb{R}[/math],[br][/size][/*][/list][size=85]Die Gleichung kann man als [b][i][color=#0000ff]multiplikative[/color][/i][/b] Version der [b][i][color=#38761d]Gärtner-Konstruktion[/color][/i][/b] einer [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b] [math]\left|z-f_1\right|+\left|z-f_2\right|=r[/math] auffassen. [br][math]f_1,f_2[/math] werden als [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] der [b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] bezeichnet, die [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] besitzen aber, wie alle [b][i][color=#ff7700]bizirkularen [br]Quartiken[/color][/i][/b] [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] (zusammenfallende mitgezählt!).[br]In einem geeigneten [b][i][color=#0000ff]komplexen Koordinatensystem[/color][/i][/b] entsteht eine [b]Cassini[/b]-[b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] aus einem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] unter der [br]komplexen [b][i][color=#38761d]Wurzel-Funktion[/color][/i][/b]:[br]So entsteht oben für [math]w=z^2[/math], [math]m=f^2[/math] aus dem Kreis [math]\left|w-m\right|^2=r^2[/math] mit [math]r=\sqrt{f^4-1}[/math] unter der [b][i][color=#38761d]Wurzel-Funktion[/color][/i][/b][br]die [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] [math]\left|z-f\right|^2\cdot\left|z+f\right|^2=r^2=\left|f\right|^4-1[/math] mit den [b][i][color=#cc0000]Scheiteln[/color][/i][/b] [math]s=\pm\sqrt{f^2\pm\sqrt{f^4-1}}[/math].[br]Die [b][color=#cc0000]2.[/color][/b] [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] (mit [math]y[/math]-Achsen-Schnittpunkten) wird mit der [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] [math]Tz=\frac{z+1}{z-1}[/math] auf eine [br][b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] mit den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [math]\pm Tf[/math] abgebildet. [br]Für diese [b][i][color=#9900ff]Lemniskate[/color][/i][/b] gilt wieder eine Gleichung der obigen Form: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][b][color=#00ffff]CASSINI2-Leitkreis[/color][/b] und [icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][b][color=#00ffff]CASSINI-Eigenschaft[/color][/b].[br]Die [b][i][color=#ff7700]Kurven[/color][/i][/b] sind (auch) mit Hilfe des [b][color=#00ff00][i]Brennpunkts[/i][/color][/b] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und der [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b] als [b][i]Ortskurven[/i][/b] konstruiert ([size=50]mehr dazu im nächsten Kapitel[/size]).[br][b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] sind bei der [b][i][color=#0000ff]Leitkreis-Konstruktion[/color][/i][/b] dadurch charakterisiert, dass der[b][color=#00ff00] [i]Brennpunkt[/i] f[/color][/b], gespiegelt am [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b],[br] auf einen der [b][i]Koordinatenpunkte[/i][/b] [math]\left\{0,\infty,1,-1\right\}[/math] fällt.[br]Eine weitere [b][i][color=#0000ff]möbiusgeometrische[/color][/i][/b] Charakterisierung der [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] ist die als [b][i][color=#cc0000]Berührort[/color] [/i][/b]bzw. als[br] [b][i][color=#cc0000]Peripherie-Winkel-Ort[/color][/i][/b]: [/size][size=85][br][list][*]Der [b][i][color=#cc0000]Ort[/color][/i][/b], in welchem sich die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] zweier [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel [/color][/i][/b]berühren, bzw. in welchem sie sich unter [br][b][i][color=#0000ff]konstantem Winkel[/color][/i][/b] schneiden, ist eine [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik [/color]-[/i][/b] falls er nicht in [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] zerfällt.[br][/*][/list][/size][size=85]Im Applet oben sind die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] der beiden [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] die [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#cc0000]Quartik-Scheitel[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse.[br]Ein [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel [/color][/i][/b]ist [b][i][color=#ff0000]elliptisch[/color][/i][/b], das andere [b][i][color=#ff0000]hyperbolisch[/color][/i][/b].[br][b][br]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] sind also das [b][i][color=#0000ff]möbiusgeometrische[/color][/i][/b][/size][size=85] Pendant des [b][i][color=#f1c232]euklidischen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Peripherie-Winkel-Kreises[/color][/i][/b], in welchem sich[br]die [b][i][color=#ff0000]Geraden[/color][/i][/b] zweier [b][i][color=#ff0000]Geradenbüschel[/color][/i][/b] unter [b][i][color=#0000ff]konstantem Winkel[/color][/i][/b] schneiden![/size]