Matemática hecha visual
Este libro parte con la idea de incorporar algunas construcciones visuales de varios aspectos de las matemáticas que se pueden encontrar en los tres libros de R. Nelsen [i]"Proofs without words"[/i] o en el libro [i]"Math made visual"[/i]. Creating images for understanding mathematics"[/i] de Claudi Alsina y Roger B. Nelsen. Se pretende aprovechar las capacidades gráficas e interactivas de GeoGebra para presentar demostraciones de resultados clásicos de una manera visual.
Table of Contents
- Demostraciones visuales del Teoremas de Pitágoras
- El dodecaedro y la triangulación de Kürschák
- El dodecaedro y la triangulación de Kürschák
- Cevianas
- Un resultado sobre cevianas
- El Teorema de Viviani
- Construcción del Teorema de Viviani
- Una generalización 3D del Teorema de Viviani
- Dos resultados sobre círculos y tangencias
- Teorema del círculo de Mongue
El dodecaedro y la triangulación de Kürschák
Gracias al matemático húngaro Józef Kürschák (1864-1933) conocemos una hermosa demostración sin palabras del siguiente resultado:[br][center][b]El área de un dodecaedro regular [br]inscrito en una circunferencia de radio 1 es igual a 3.[br][/b][/center]sacada a partir de una triangulación del dodecaedro.
El resultado se generaliza por tanto a que [b]el área de un dodecaedro regular inscrito en una circunferencia de radio k tiene área 3k[sup]2[/sup].[br][br][/b]Este resultado lo conocí en este [url=https://culturacientifica.com/2024/02/28/la-teselacion-de-jozsef-kurschak/]artículo[/url] de [url=https://www.ehu.eus/~mtwmastm/]Marta Macho Stadler[/url] en el Cuaderno de Cultura Científica, donde habla de la vida de Kürschák y de la curiosa teselación que descubrió.[br]
Un resultado sobre cevianas
Dado un triángulo cualquiera, una [b]ceviana [/b]es un segmento que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto.[br][br]El resultado (sacado de [i]E. Hernández "Clasificación de isometrías del plano con ayuda de GeoGebra"[/i]) que se muestra es el siguiente: [br][br][center][i]Dado un triángulo equilátero ABC, divide sus lados en tres segmentos iguales.[br]Ahora considera las tres cevianas que se muestran en la figura formando el triángulo [br]equilátero DEF. Entonces, la razón entre las áreas de los dos triángulos es: [br][/i][/center][size=150][center][math]\frac{Area\left(ABD\right)}{Area\left(DEF\right)}=7[/math][/center][/size]
Construcción del Teorema de Viviani
El [b]Teorema de Viviani[/b] (1622-1703) establece la siguiente propiedad de los triángulos equiláteros: [br][br][center][i]La suma de las perpendiculares a los lados desde cualquier punto de [br]un triángulo equilátero es igual a la altura del triángulo[/i][/center]
Aquí van las instrucciones de la Construcción[br][br]1. Crea un triángulo equilátero P con la herramienta "polígono regular"[br]2. Crea un punto D dentro de P con la herramienta "punto en objeto"[br]3. Con la herramienta "recta perpendicular" traza las rectas perpendiculares a los tres lados de P que pasen por D.[br]4. Calcula pos puntos de intersección E, F y G de esas rectas con los lados del triángulo P.[br]5. Crea los segmentos DE, DF y DG y calcula sus longitudes l, m y n con el comando Longitud(<objeto>).[br]6. Con el comando Distancia(<punto>,<objeto>) calculas la altura del triángulo y ya solo queda compararlo con la suma l+m+n.[br][br]Puede ver el resultado final en la siguiente applet:
En el siguiente Applet se construye paso a paso la demostración visual de este resultado, atribuida a K. Kawasaki en su artículo [i]"Proof without words: Viviani's theorem"[/i], 2005. [br][br]Solo tienes que utilizar el deslizador para verla.
Teorema del círculo de Mongue
Vamos a ver ahora un bonito resultado llamado el [b]Teorema del círculo de Monge[/b]:[br][br][center]Sean 3 círculos disjuntos de diferentes diámetros. Si se toman las rectas tangentes[br]entre cada uno de los círculos dos a dos, éstas dan lugar a 3 puntos de intersección [br]que se encuentran alineados[/center]La comprobación visual de este resultado puede verse en el siguiente applet:
Como nos indican Alsina y Nelsen en su libro [i]"Math made visual"[/i], la demostración de este resultado a partir de su geometría bidimensional es muy complicada. Es más sencillo considerar el problema en una dimensión más: cada círculo de la construcción es el ecuador de una esfera y las rectas tangentes se convierten en conos tangentes a las esferas.[br][br]En esta situación, si se toma el plano tangente a las tres esferas, éste es tangente a las 3 esferas y por tanto intersecará al plano del ecuador (nuestra construcción) precisamente en la recta L que contiene a los 3 puntos considerados. Q.E.D.