Du hast es Dir bestimmt schon gedacht: Der stochastisch modellierte Zerfallsprozess mittels Würfel ist ein Modell für den radioaktiven Zerfallsprozess von instabilen Atomen. Atome werden aber nicht gewürfelt! Sie zerfallen spontan und zufällig mit einer bestimmten Zerfallswahrscheinlichkeit. [br]Beim Zerfall eines radioaktiven Atoms wird immer ein kurzer Energieimpuls, die ionisierende Strahlung, ausgesendet. Diesen Energieimpuls können wir mit geeigneten Geräten messen zum Beispiel mit einem Geiger-Müller Zählrohr. [br][br]Um das Würfel-Atom-Modell des stochastisch modellierten Zerfallsprozess zu retten, stellen wir uns die philosophisch klingende Frage: [br]Wie viele Würfel zerfallen nach einem "Halben Wurf"? Nach dem Drittel eines Wurfes? Und so weiter...
Zeige, dass das Geometrische Mittel [math]N_{1,5}=\sqrt{N_1\cdot N_2}[/math] von [math]N_1[/math] und [math]N_2[/math] auf dem Graphen der Funktion [math]N(t)=N_0\cdot\left(1-p\right)^t[/math] liegt. [br]Hinweis: Benutze [math]N_1=N_0\cdot(1-p)[/math] und [math]N_2=N_0\cdot(1-p)^2[/math]
[math]N_{1,5}=\sqrt{N_1\cdot N_2}=\sqrt{N_0\cdot(1-p)\cdot N_0\cdot(1-p)^2 } =\sqrt{N_0^2 \cdot(1-p)^3 }=N_0\sqrt{(1-p)^3 } =N_0\cdot (1-p)^{\frac{3}{2}}=N\left(\frac{3}{2}\right)=N(1,5)[/math]
Zeige, dass auch das gewichtete Geometrische Mittel, also zum Beispiel [math]N_{2\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{N_2 \cdot N_3^5}[/math] auf dem Graphen der Funktion [math]N(t)[/math] liegt.
[math]N_{2 \frac{5}{6}}=\sqrt[6]{N_2\cdot N_3^5}=\sqrt[6]{N_0\cdot(1-p)^2\cdot \left(N_0\cdot(1-p)^3\right)^5 } =\sqrt[6]{N_0 \cdot(1-p)^2\cdot N_0^5\cdot (1-p)^{15} }\\[br]=\sqrt[6]{N_0^6 \cdot(1-p)^{17}}=N_0\sqrt[6]{(1-p)^{17} } =N_0\cdot(1-p)^{\frac{17}{6}}=N\left(\frac{17}{6}\right)=N\left(2 \frac{5}{6}\right)[/math]