[size=150]Ein Einheitskreis (r = 1) wird in n Sektoren ('Tortenstücke') unterteilt. [br]Die grünen und orangenen Sektoren kann man ausschneiden und wie auf einem Tablett anders anordnen, so dass sie ein 'Wellen-Vieleck' ergeben.[br]Dazu wird hier einer der Kreissektoren noch einmal halbiert.[br]Der obere grüne Halbkreis hat den Umfang U/2.[br]Wir untersuchen jetzt, was passiert, wenn die Anzahl der Sektoren immer größer wird (und die Sektoren dann immer feiner).[/size]
[list=a][size=150][*]Welcher Figur nähert sich das Wellen-Vieleck immer mehr an, wenn n immer größer wird? [br][i]Tipp: Zeigen Sie die Koordinaten des durch ein rotes [color=#ff0000][b]+[/b][/color] markierten Punktes an (rechter Mausklick, Beschriftung anzeigen).[/i][/*][*]Welche Gleichung ergibt sich für immer größeres n aus dem beiden Figuren? [/*][*]Was erhalten wir, wenn wir allgemein einen Kreis mit dem Radius r betrachten?[br]Welche Formel ergibt sich daraus für den Umfang?[/*][/size][/list]
[list=a][*]Die Figur nähert sich immer mehr einem Rechteck mit Länge U/2 = π und Breite 1 an. [/*][*]Flächeninhalt π*1² = 1*U/2, also π = U/2.[/*][*]Flächeninhalt π*r² = U/2*r. Daraus folgt U = 2 π r.[/*][/list]
[i]Hinweis: [br]Bei den vorigen Aufgaben wurden die Kreisfläche bzw. die Kreislinie immer besser approximiert.[br]Hier ist die Kreisfläche gegeben und wird anders aufgeteilt. [br]Die Approximation besteht jetzt darin, dass das 'Wellenviereck' sich für größere n immer mehr einem Rechteck annähert.[/i]