Allgemeine Sinusfunktion
Table of Contents
- Wiederholung Sinusfunktion
- Wiederholung Sinusfunktion
- Die allgemeine Sinusfunktion
- Die allgemeine Sinusfunktion
- Parameter a
- Der Parameter a
- Parameter b
- Der Parameter b
- Parameter c
- Der Parameter c
- Parameter d
- Der Parameter d
- Besonderheiten
- Zusammenfassung
- Verschiebung und Streckung in x-Richtung
- Übungen
- Grundlegende Übungen I
- Grundlegende Übungen II
- Vertiefende Übungen
- Übungen zu Funktionen der Form x ↦ a ⋅ sin(b ⋅ (x - c) + d)) + d
Wiederholung Sinusfunktion
Zunächst eine kleiner Check, was du noch alles über die Sinusfunktion drauf hast.
Hier sind ein paar Fragen zur Sinusfunktion und deren Graph.
Wie lautet die maximale Definitionsmenge D der Sinusfunktion?
Wie lautet die Wertemenge W der Sinusfunktion?
Wo liegen die Nullstellen?
Wo liegen die Hochpunkte?
Wo liegen die Tiefpunkte?
Welche Länge hat die Periodendauer?
Die allgemeine Sinusfunktion
[justify]Wir betrachten ab hier die allgemeine Sinusfunktion und ihren Graphen. Jede Sinuskurve lässt sich mit mit dem Funktionsterm a[math]\cdot[/math]sin(b(x - [math]\frac{c}{b}[/math])) + d beschreiben. Für die Parameter a, b, c und d können reelle Zahlen gewählt werden, diese verändern den Graphen auf unterschiedliche weise. Jedoch lässt sich manche graphische Anpassung durch unterschiedliche Anpassungen der Parameter erzielen. Aber dazu später mehr.[/justify]
[justify]Jede Veränderung eines einzelne Parameters hat eine Veränderung des Graphen zur Folge. Verändert man mehrere Parameter, so muss man aber vorsichtig sein. Ausgangslage für die folgenden Aufgaben ist immer die Sinusfunktion sin(x) bzw. Kosinusfunktion cos(x) und deren Graphen (siehe oben).[/justify]
Übertragen den folgen Text inklusive der Überschrift in dein Heft.
3.3 Allgemeine Sinusfunktion
[justify]Jede Sinusfunktion lässt sich allgemein durch den Funktionsterm a[math]\cdot[/math]sin(b(x - [math]\frac{c}{b}[/math])) + d beschreiben. Die Parameter a, b, c und d beeinfluss den Graph, indem sie ihn verschieben, strecken/stauchen und spiegeln.[/justify]
Der Parameter a
[justify]In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Funktion a[math]\cdot[/math]sin(x) bzw. a[math]\cdot[/math]cos(x). [br]Nutze dabei das unten abgebildete Applet um den Einfluss des Parameters a auf den Graphen zu beobachten. Bewege dazu den Schieberegler nach links und rechts. Du kannst auswählen, ob du dir den Graphen des Sinus oder des Kosinus anzeigen lässt. Du solltest auf jeden Fall beide Graphen betrachten![br]Als Vergleich wird dir der Graph der Sinus- bzw. Kosinusfunktion immer zusätzlich angezeigt.[/justify]
Beantworte nun die nachfolgenden Fragen. Wenn du dir an einer Stelle nicht sicher bist, kehre zum Applet.
Welche Werte darf der Parameter a maximal annehmen?
Beeinflusst der Parameter a die maximale Definitionsmenge D? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter a die Nullstellen? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter a die Amplitude? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter a die Periodenlänge? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Für a = -2 wird der Graph ...
Vergleiche die Graphen, wenn du für Parameter a die Werte 1 bzw. -1 einstellst. [br]Welchen Einfluss hat der Parameter a auf den Graphen, wenn a positiv bzw. negativ ist.
Wie bestimme ich den Parameter a anhand des Graphen?
[list=1][*]Bestimme den Differenz zwischen dem höchsten und niedrigsten Punkt des Graphen[/*][*]Halbiere diesen Wert um a zu erhalten[/*][*]Berücksichtige eventuell vorhandene Spiegelungen[/*][/list]
Der Parameter b
[justify]In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Funktion sin(b[math]\cdot[/math]x) bzw. cos(b[math]\cdot[/math]x). [br]Nutze dabei das unten abgebildete Applet um den Einfluss des Parameters b auf den Graphen zu beobachten. Bewege dazu den Schieberegler nach links und rechts. Du kannst auswählen, ob du dir den Graphen des Sinus oder des Kosinus anzeigen lässt. Du solltest auf jeden Fall beide Graphen betrachten![br]Als Vergleich wird dir der Graph der Sinus- bzw. Kosinusfunktion immer zusätzlich angezeigt.[/justify]
Beantworte nun die nachfolgenden Fragen. Wenn du dir an einer Stelle nicht sicher bist, kehre zum Applet.
Welche Werte darf der Parameter b maximal annehmen?
Beeinflusst der Parameter b die maximale Definitionsmenge D? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter b die Nullstellen? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter b die Amplitude? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter b die Periodenlänge? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Für b = 2 wird der Graph ...
Vergleiche die Graphen, wenn du für Parameter b die Werte 1 bzw. -1 einstellst. [br]Welchen Einfluss hat der Parameter b auf den Graphen, wenn b positiv bzw. negativ ist.
Wie bestimmt man den Parameter b anhand des Graphen?
[list=1][*]Ablesen der Periodenlänge p anhand der Nullstellen oder Hoch-/Tiefpunkte[/*][*]Berechne b = [math]\frac{2\pi}{p}[/math][br][/*][*]Berücksichtige eventuell vorhandene Spiegelungen[/*][/list]
Der Parameter c
[justify]In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Funktion sin(x - c) bzw. cos(x - c). [br]Nutze dabei das unten abgebildete Applet um den Einfluss des Parameters c auf den Graphen zu beobachten. Bewege dazu den Schieberegler nach links und rechts. Du kannst auswählen, ob du dir den Graphen des Sinus oder des Kosinus anzeigen lässt. Du solltest auf jeden Fall beide Graphen betrachten! [br]Als Vergleich wird dir der Graph der Sinus- bzw. Kosinusfunktion immer zusätzlich angezeigt.[/justify]
Beantworte nun die nachfolgenden Fragen. Wenn du dir an einer Stelle nicht sicher bist, kehre zum Applet.
Welche Werte darf der Parameter c maximal annehmen?
Beeinflusst der Parameter c die maximale Definitionsmenge D? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter c die Nullstellen? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter c die Amplitude? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter c die Periodenlänge? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beim Funktionsterm sin(x + [math]\pi[/math]) hat der Parameter c den Wert
Vergleiche die Graphen, wenn du für Parameter c die Werte [math]\pi[/math] bzw. [math]-\pi[/math] einstellst. [br]Welchen Einfluss hat der Parameter c auf den Graphen, wenn c positiv bzw. negativ ist.
Wie bestimmt man den Parameter c anhand des Graphen?
[list=1][*]Wähle eine(n) Nullstelle/Hochpunkt/Tiefpunkt der sich gut ablesen lässt[/*][*]Bestimme um wie viel sich dieser von seiner ursprünglichen Stelle verschoben hat[/*][*]Berücksichtige Verschiebungen nach rechts und links[/*][/list]
Der Parameter d
[justify]In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Funktion sin(x) + d bzw. cos(x) + d. [br]Nutze dabei das unten abgebildete Applet um den Einfluss des Parameters d auf den Graphen zu beobachten. Bewege dazu den Schieberegler nach links und rechts. Du kannst auswählen, ob du dir den Graphen des Sinus oder des Kosinus anzeigen lässt. Du solltest auf jeden Fall beide Graphen betrachten! [br]Als Vergleich wird dir der Graph der Sinus- bzw. Kosinusfunktion immer zusätzlich angezeigt.[/justify]
Beantworte nun die nachfolgenden Fragen. Wenn du dir an einer Stelle nicht sicher bist, kehre zum Applet.
Welche Werte darf der Parameter d maximal annehmen?
Beeinflusst der Parameter d die maximale Definitionsmenge D? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter d die Nullstellen? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter d die Amplitude? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Beeinflusst der Parameter d die Periodenlänge? (Falls Ja, beschreibe kurz wie)
Vergleiche die Graphen, wenn du für Parameter d die Werte 1 bzw. -1 einstellst. [br]Welchen Einfluss hat der Parameter d auf den Graphen, wenn d positiv bzw. negativ ist.
Wie bestimmt man den Parameter d anhand des Graphen?
[list=1][*]Finde die Mittellage des Graphen[/*][*]Bestimme die Mitte zwischen dem höchsten und niedrigsten Punkt des Graphen[/*][/list]
Zusammenfassung
[justify]Hier noch ein paar Kontrollfragen um zu prüfen, ob du wirklich alles verstanden hast. [br]Achtung, bei den folgenden Fragen kann auch mehr als eine Antwortmöglichkeit richtig sein![/justify]
Welcher Parameter verschiebt den Graphen einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion?
Welcher Parameter streckt/staucht den Graphen einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion?
Welcher Parameter spiegelt den Graphen einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion?
Welcher Parameter beeinflusst den Graphen einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion in x-Richtung?
Welcher Parameter beeinflusst den Graphen einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion in y-Richtung?
Welcher Parameter einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion darf nicht 0 sein?
Grundlegende Übungen I
Veränderung des Graphen anhand der Parameter beschreiben
[justify]Erkläre mithilfe der Parameter a, b, c und d wie der Graph der jeweiligen Funktion gegenüber dem Graphen der Sinus- bzw. Kosinusfunktion verändert wurde. [/justify]Beschreibe in folgender Reihenfolge:[br][list][*]Spiegelung an der Mittellage/y-Achse[/*][*]Um ... Einheiten nach oben/unten verschoben[/*][*]Um ... Einheiten nach links/rechts verschoben[/*][*]Um den Faktor ... in y-Richtung gestreckt/gestaucht[/*][*]Um den Faktor ... in x-Richtung gestreckt/gestaucht[/*][/list][br]Wurde einer der oben genannten Punkte nicht verändert, so muss du ihn auch nicht erwähnen.[br][br]Falls deine Beschreibung von der Lösung abweicht, kannst du sie mit dem Applet ganz unten überprüfen.
f(x) = sin(x) + 2,7
f(x) = cos(x - 0,5)
f(x) = -3,5[math]\cdot[/math]sin(x)
f(x) = cos(-0,5x)
f(x) = 2,5[math]\cdot[/math]sin(x + [math]\pi[/math])
f(x) = cos([math]\pi[/math]x) - 3,5
f(x) = -0,2[math]\cdot[/math]sin(x + [math]\frac{\pi}{4}[/math]) - 3,5