[size=150]Bearbeitungszeit: ca. [b]20 Minuten[/b] (15 Minuten für [i]Aufgabe 1[/i] und 5 Minuten für [i]Aufgabe 2[/i])[br][/size]
[b][size=150][u]Aufbau[/u]:[/size][/b][br]Wenn Dir das Bearbeiten der Aufgaben schwer fällt, kannst Du im Folgenden zuerst nochmal die [b]mathematischen Grundlagen[/b] für dieses Applet wiederholen.[br]Anschließend findest du zunächst eine [b]Aufgabenstellung mit Lösung[/b] zur Berechnung der Funktionsgleichung für eine Gerade durch zwei Punkte.[br]Daraufhin sind [b]drei[/b] [b]Verständnisfragen[/b] abgebildet, um dein Wissen vollständig überprüfen zu können.[br]Am Ende sind die [b]Lernziele und Prüfungsrelevanz[/b], ebenso wie [b]weiterführende Links[/b] zum Thema aufgelistet.[br][br]Viel Spaß beim Lösen der Aufgaben![br][br]
[b][u][size=150]Mathematische Grundlagen[/size][/u][/b][br][br]Was lautet die allgemeine [i]Geradengleichung[/i]? Wie stellt man sie auf? Wie funktioniert das mit Hilfe [i]zweier Punkte[/i]? Was ist ein [i]Steigungsdreieck[/i]? Was berechnet der [i]Differenzenquotient[/i]?[br][br]Wenn Du Dir bei diesen Inhalten nicht ganz sicher bist, findest Du im Folgenden eine kurze [br]Wiederholung der mathematischen Grundlagen, welche zur Bearbeitung dieses Applets notwendig sind:
[size=200][b][u]1. Funktionsgleichung aufstellen[/u][/b][/size]
Im Folgenden siehst du ein Koordinatensystem, in welchem die beiden Punkte P[sub]1[/sub] und P[sub]2[/sub] einzeichnet sind. [br][br][b][u][size=150]Aufgabe 1.1[/size][/u][/b] [br]Überlege, wie Du das [b]Steigungsdreieck [/b]einzeichnen würdest. Klicke anschließend auf den Button [i]"Steigungsdreieck (von P[sub]1[/sub] und P[sub]2[/sub])[/i]", um Dir das Steigungsdreieck im Koordinatensystem anzeigen zu lassen.[br][br][b][u][size=150]Aufgabe 1.2[/size][/u][/b][br]Berechne jetzt die [b]Steigung m[/b]. Hierfür kannst du entweder das Notizfeld weiter unten oder ein leeres Blatt Papier verwenden. Wenn du fertig bist, klicke zur Kontrolle auf den Button [i]"Rechnung 1[/i]". Durch den [i]Switch[/i] kannst Du Dir den Lösungsweg insgesamt oder alternativ in drei Schritte untergliedert anzeigen lassen.[br][br][u][b][size=150]Aufgabe 1.3[/size][/b][/u][br]Ermittle nun den [b]y-Achsen-Abschnitt b[/b]. Auch hierfür kannst du wieder entweder das Notizfeld weiter unten oder das leere Blatt verwenden. Zur Kontrolle aktiviere den Button [i]"Rechnung 2[/i]". Durch den [i]Switch[/i] kannst Du wählen, ob zur Berechnung der Punkt P[sub]1[/sub] oder der Punkt P[sub]2[/sub] verwendet werden soll.[br][br][b][u][size=150]Aufgabe 1.4[/size][/u][/b][br]Gebe jetzt die resultierende [b]Funktionsgleichung [/b]an. Durch das Klicken auf den Button [i]"Zeichnung[/i]" kannst du deine Lösung kontrollieren und gleichzeitig die fertige Geradengleichung in das Koordinatensystem eintragen lassen.[br][br]Um [b]weitere Aufgabenstellungen[/b] automatisch generieren zu lassen, klicke jetzt auf "[i]Neue Aufgabe[/i]" oder alternativ kannst du auch die Punkte im Koordinatensystem beliebig verschieben. Selbstverständlich kannst Du Dir die entsprechenden Lösungen wieder durch Aktivierung der jeweiligen Button anzeigen lassen.
[b][size=200][u]2. Verständnisfragen[/u][/size][/b]
[size=150][b][u]2.1 Steigungen[/u][/b][/size]
[size=50][size=100]Wie nennt man in der Mathematik zwei Geraden mit [i]gleichen m[/i]?[br]Du hast maximal 3 Versuche![/size][/size]
[size=150][b][u]2.2 Differenzenquotient[/u][/b][/size]
Was versteht man in der Mathematik unter dem Begriff "[i]Differenzenquotient[/i]"?[br]Gib alle richtigen Antwortmöglichkeiten an.[br][br]A) Die Steigung m einer linearen Funktion[br]B) Zwei Quotienten aus einer Differenz[br]C) Zwei Differenzen aus zwei Quotienten[br]D) Einen Quotienten aus zwei Differenzen[br]E) Die Beschreibung der Steigung in Prozent
Die richtigen Antwortmöglichkeiten sind [color=#38761d][u]Antwort [/u][/color][b][color=#38761d][u]A[/u][/color][/b], [u][color=#38761d]Antwort [/color][/u][b][color=#38761d][u]D[/u][/color][/b] und [color=#38761d][u]Antwort [/u][/color][b][color=#38761d][u]E[/u][/color][/b].[br][br][br][u]Erklärung[/u]:[br][br][color=#38761d][b]A (Die Steigung m einer linearen Funktion)[/b][/color] ist [i]richtig[/i]:[br]Der Differenzenquotient gibt die [u]Steigung m[/u] der Sekante zweier Punkte (zum Beispiel P[sub]1[/sub] und P[sub]2[/sub]) auf dem Graphen einer Funktion [i]f(x)[/i] an.[br][b][br][color=#980000]B (Zwei Quotienten aus einer Differenz)[/color][/b] ist [i]falsch[/i]:[br]Der Differenzenquotient ist [u]ein[/u] Quotient (=Bruch) aus den [u]zwei[/u] Differenzen [math]f\left(b\right)-f\left(a\right)[/math] und [math]\text{b - a}[/math]:[br][math]m=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math].[br][br][color=#980000][b]C (Zwei Differenzen aus zwei Quotienten)[/b][/color] ist auch [i]falsch[/i]:[br]Der Differenzenquotient ist [u]ein[/u] Quotient aus zwei Differenzen: [math]m=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math].[br][br][b][color=#38761d]D (Einen Quotienten aus zwei Differenzen[/color][color=#38761d])[/color][/b] ist jetzt aber [i]richtig[/i]:[br]Der Differenzenquotient ist [u]ein[/u] Quotient aus [u]zwei[/u] Differenzen mit der Formel [math]m=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math].[br][br][b][color=#38761d]E (Die Beschreibung der Steigung in Prozent)[/color][/b] ist ebenfalls [i]richtig[/i]:[br]Das Ergebnis des Differenzenquotient (zum Beispiel 0,32) kann ganz einfach auch als Prozentzahl (im Beispiel 32%) geschrieben werden. Hierfür wird die Dezimalzahl einfach mit 100 multipliziert, wodurch sich das Komma um zwei Stellen nach rechts verschiebt.[br]Ein Anteil von 0,32 an einem Ganzen entspricht also 32% von diesem Ganzen. Das Ganze (also 1 oder 100%) entspricht der Winkelhalbierenden des I. Quadranten ([math]y=x[/math]).[br]
[u][b][size=150]2.3 Geradengleichung bestimmen[/size][/b][/u]
In [i]Aufgabe 1.2[/i] hast Du bereits gelernt, wie man die [b]Steigung [/b]berechnet und durch [i]Aufgabe 1.3[/i] kannst Du inzwischen auch den [b]y-Achsen-Abschnitt[/b] bestimmen.[br][br]Ermittle nun die Geradengleichung durch die Pun[size=100]kte [b][color=#ff7700]A(3|3)[/color][/b] und [b][color=#0b5394]B(-6|2)[/color][/b].[/size]
Die Geradengleichung lautet [math]f\left(x\right)=-\frac{1}{3}x+3[/math].[br][br][u]Tipp[/u]:[br]Für den ausführlichen Rechenweg verschiebe im Koordinatensystem von [i]Aufgabe 1[/i] die Punkte [b]P[sub]1[/sub][/b] und [b]P[sub]2[/sub][/b] auf die Koordinaten der Pun[size=100]kte [b][color=#ff7700]A(3|3)[/color][/b] und [b][color=#0b5394]B(-6|2)[/color][/b] und lass Dir so die fertige Lösung ganz einfach anzeigen![/size]
[size=200][b][u]Herzlichen Glückwunsch - Du hast das Ende des Applets erreicht![/u][/b][/size][br][br]Im Folgenden findest Du die Lernziele und Prüfungsrelevanz, ebenso wie einen weiterführenden Link zum Thema:
Für dieses Applet sind sowhol die Lernziele als auch die Relevanz für Prüfungen, Abitur und den Alltag im Folgenden kurz dargestellt: