Um fractal é uma forma geométrica que pode ser subdividida em partes, cada uma das quais com características semelhantes com a forma original. Com alguma habilidade podemos construir bonitos fractais e refletir acerca da matemática destes maravilhosos elementos geométricos. O Triângulo de Sierpinsky é um fractal sobejamente conhecido! [br]Neste fractal partimos de um triângulo equilátero, depois removemos o triângulo equilátero definido pelos pontos médios dos lados do triângulo equilátero inicial. Repetimos continuamente o processo nos triângulos que não foram removidos e obtemos, no limite, o triângulo de Sierpinsky.
De cada vez que produzimos uma iteração na construção do fractal, que acontece à área da figura resultante?
Se considerarmos A, a área do triângulo inicial (figura na iteração 0) a área da figura resultante na iteração de ordem n é dada por que expressão?
De cada vez que produzimos uma iteração na construção do fractal, que acontece ao perímetro da figura resultante?
Se considerarmos P, o perímetro do triângulo inicial (figura na iteração 0) o perímetro da figura resultante na iteração de ordem n é dado por que expressão?
Atendendo ao que já aprendeste acerca das sucessões numéricas, como designas as sucessões que exprimem a área [math]A_n[/math] e o perímetro [math]P_n[/math], para um determinado passo [math]n[/math] da construção do fractal?
Indica e interpreta, no contexto da situação dada, o limite de cada uma das sucessões acima indicadas.
A [b]Árvore Pitagórica[/b] é um fractal formado por quadrados. Cada trio de quadrados que se intersectam formam um triângulo retângulo, numa configuração tradicionalmente usada para descrever o Teorema de Pitágoras.
[list=1][*]Constrói um quadrado;[/*][*]Usando o lado de cima (topo) deste quadrado, constrói um triângulo retângulo. A hipotenusa do triângulo retângulo coincide com o lado do quadrado;[/*][*]Em seguida, nos dois catetos do triângulo, constrói dois novos quadrados cujos lados são exatamente os catetos;[/*][*]Esconde o triângulo retângulo construído;[/*][*]Repete os 4 passos anteriores nos dois novos quadrados.[/*][/list]