Im [url=https://www.geogebra.org/m/tgn3pnsb]vorangehenden Kapitel [/url] haben wir zwei Methoden kennen gelernt, das Skalarprodukt zu berechnen:[br][list=1][*][br][math]\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot \cos(\alpha)[/math][br][/*][br][*][br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z[/math][br][/*][br][/list][br]Die erste Gleichung lässt sich nach [math]\cos(\alpha)[/math] umstellen:[br][br][math]\text{\LARGE{$\boxed{\cos(\alpha)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}}$}}[/math][br][br]Nun kann man das Skalarprodukt mit der zweiten Gleichung für das Skalarprodukt ausrechnen und die Beträge können wir auch über die Koordinaten der Vektoren bestimmen:[br][br][math]\text{\Large{$\cos(\alpha)=\frac{a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$}}[/math][br][br]Und weil wir nicht [math]\cos(\alpha)[/math] sondern [math]\alpha[/math] berechnen wollen, müssen wir auf all das noch die Umkehrfunktion des Cosinus anwenden, den [b]Arcus-Cosinus[/b] [math]\arccos()[/math].[br]Auf Taschenrechnern steht oft nicht ganz korrekt [math]acos()[/math] oder [math]cos()^{-1}[/math] wenn [math]arccos()[/math] gemeint ist. Wenn wir nun alles zusammen nehmen, erhalten wir eine Formel, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen. [br][br][b]Der Winkel[/b] [math]\alpha[/math] [b]zwischen den Vektoren[/b] [math]\vec{a}=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}[/math] [b]und[/b] [math]\vec{b}=\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}[/math] [b]ist[/b]:[br][br][math]\text{\LARGE{$\boxed{\alpha=arccos\left(\frac{a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}\right)}$}}[/math][br]