[color=#000000]Bei der Berechnung von Integralen geht es um Produktsummen und ihre geschickte Behandlung.[br]Leider kommt man dabei traditionell in die Herleitung komplizierter Summenformeln.[br]Danach geht es weiter zu Katalogen von Stammfunktionen und zu Integrationsregeln.[br]Dabei gerät die Grundidee der Integralrechnung schnell gegenüber dem Kalkül in den Hintergrund.[br]Kalkül braucht aber Verständnis, wenn es kein blindes Rechnen sein soll; Verständnis von Grundvorstellungen zu Unter- und Obersummen, Integral, Integralfunktion, und vom Prinzip [i]von der Änderung zum Bestand[/i].[br][br]Hier kann dynamische Software helfen, weil das algebraische Kalkül weniger wichtig wird, dadurch keine für manche unüberwindliche Hürde mehr ist, und durch ein straight forward Rechnen dank der Rechenpower dynamischer Mathematikwerkzeuge (zumindest im Anfang) ersetzt werden kann.[br]GeoGebra wird so genutzt, um zu Funktionen Untersummen/ Obersummen, Integrale und graphisch erzeugte Integralfunktionen zu erzeugen.[br]Inspiriert wurde dies von alten analogen Geräten wie Integrimeter und Integraph, die auch rein graphisch und kalkülfrei Integrale ermittelten und Integralkurven zeichneten. Während im klassischen Unterricht der Integralrechnung die Stammfunktion eine besondere Stellung hat und die Integralfunktion kaum vorkommt, wird hier mit Hilfe von GeoGebra die Integralfunktion frühzeitig graphisch als geometrischer Ort eingeführt. Dies ist ein genetischer Weg, der der Integralfunktion die zustehende Bedeutung gibt und durch entsprechende digitale Werkzeuge leicht und natürlich gangbar wird.[br][br][b]Literatur[/b][br][/color][list][*][color=#000000]Elschenbroich, H.-J. (2017): Anschauliche Zugänge zur Analysis mit dem Integrator. In: MNU journal 5/2017, S. 312 - 317[br][/color][/*][*][color=#000000]Elschenbroich, H.-J. (2016): Anschauliche Zugänge zur Analysis mit alten und neuen Werkzeugen. In: Blum & Körner (Hrsg.): Mathematik wirklich verstehen - Beispiele zur Stoffdidaktik. [br]Der Mathematikunterricht 1/2016. S. 26 - 34[br][/color][/*][*][color=#000000]Elschenbroich, H.-J. (2015): Digitale Werkzeuge im Analysis-Unterricht. In: Blum & Vogel & Drüke-Noe & Roppelt (Hrsg.): Bildungsstandards aktuell: Mathematik in der Sekundarstufe II. S. 244 - 254. [br][/color][/*][*][color=#000000]Elschenbroich, H.-J. (2014): Ein kalkülfreier Zugang zu Grundvorstellungen der Analysis. In: Roth & Ames (Hsrg.): Beiträge zum Mathematikunterricht 2014. S. 337 – 340.  [br][/color][/*][*][b][url=http://www.integrator-online.de]www.integrator-online.de [/url][/b][br][/*][/list]

a) Lassen Sie zur Funktion f auf [a, b] die n-te Obersumme und die n-te Untersumme berechnen.[br] Erhöhen Sie n am Schieberegler. Was stellen Sie für zunehmendes n fest? [br]b) Berechnen Sie auch die n-te Trapezsumme. Was stellen Sie für zunehmendes n fest?

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Auf dem Intervall [a, b] kann der Punkt S auf dem Graphen von f gezogen werden.[br]Seine x-Koordinate wird als x angezeigt.[br]Durch Anklicken des Kontrollkästchens Obersumme wird die Obersumme von f auf [a, x] berechnet [br]und als y-Koordinate eines Punktes O[sub]a[/sub] angezeigt.[br]Beim Kontrollkästchen Untersumme entsprechend für U[sub]a[/sub].[br]a) Aktivieren Sie beide Kontrollkästchen. Ziehen Sie an S und ändern Sie auch n. Was stellen Sie fest?[br]b) O[sub]a[/sub] erzeugt eine Ortslinie abhängig von S und U[sub]a[/sub] ebenfalls.[br] Diese kann man mit dem entsprechenden Kotrollkästchen sichtbar machen.[br] Was stellen Sie fest, wenn Sie nun n am Schieberegler vergrößern?[br]c) Aktivieren Sie auch das Kontrollkästchen Integralfunktion. Was stellen Sie fest?

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Bei Ziehen an S auf dem Graphen von f wird das Integral von f auf [a, x] angezeigt und berechnet.[br]Flächen im positiven Bereich sind blau markiert, Flächen im negativen Bereich rot.[br][br]a) Ziehen Sie an S und beobachten sie die Entwicklung des Integrals.[br]b) Aktivieren sie die Kontrollkästchen Integral von f und Integralfunktion.[br] Was stellen Sie für I[sub]a[/sub] und den Verlauf von I(x) fest, wenn Sie an S ziehen?[br]c) Beschreiben Sie das Verhalten der Integralfunktion I(x) in Abhängigkeit von f(x).[br]d) Untersuchen Sie dies auch für andere Funktionen.

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Es soll das Volumen des Rotationskörpers mit der Randfunktion f(x) ermittelt werden.[br]a) Lassen Sie über die Kontrollkästchen die Annäherung 'von links' und 'von rechts' anzeigen.[br] Verändern Sie die Perspektive im 3D-Fenster so, dass man alles gut erkennen kann.[br]b) Wie kommt man von den Rechtecken im 2D-Fenster zur 3D-Ansicht?[br] Erläutern Sie das Verfahren als Verallgemeinerung des Vorgehens im zweidimensionalen Fall.[br]c) Erhöhen Sie n am Schieberegler (das dauert für große n etwas), bis die Oberfläche 'glatt' aussieht. [br] Was stellen Sie für Linksvolumen und Rechtsvolumen fest?[br] Die Oberfläche des Rotationskörpers können Sie auch mit dem Kontrollkästchen anzeigen lassen.

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Der [b]Integrator[/b] ist eine Lernumgebung für einen anschaulichen und kalkülfreien Einstieg in die Integralrechnung und zielt auf den Aufbau von Verständnis und Grundvorstellungen.[br]Eine ähnlich ausgerichtete Lernumgebung für die Differenzialrechnung ist die [b]Funktionenlupe[/b], die die Idee des Funktionenmikroskops von A. Kirsch aufgreift und dynamisch weiterentwickelt.[br][br]Siehe [url=http://www.funktionenlupe.de]Funktionenlupe.de[/url] und das GeoGebra-Book [url=https://tube.geogebra.org/m/QxeVkgpf?doneurl=%2F]Die Funktionenlupe[/url].

[list][*]Elschenbroich, H.-J. (2017): Anschauliche Zugänge zur Integralrechnung mit dem Integrator. [br]In: [i]MNU Journal 5/2017[/i], S. 312 - 317[/*][*][color=#000080]Blum, W., Elschenbroich, H.-J. & Krimmel, K. (2016): Das Integral wirklich verstehen. [br]In[i]: mathematik lehren 199[/i], S. 37 - 42[/color][/*][*]Elschenbroich, H.-J. (2016): Ein neuer Vorschlag zur Vermittlung von Grundvorstellungen der Integralrechnung. [br]In: [i][url=https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/35343/1/BzMU16%20ELSCHENBROICH%20Integrator.pdf]Beiträge zum Mathematikunterricht 2016[/url][/i]. Münster: WTM-Verlag.[br][/*][*]Elschenbroich, H.-J. (2016): Anschauliche Zugänge zur Analysis mit alten und neuen Werkzeugen.[br]In: Blum & Körner (Hrsg.): Mathematik wirklich verstehen - Beispiele zur Stoffdidaktik. [br]In: [i]Der Mathematikunterricht 1/2016[/i]. S. 26 - 34[/*][*]Elschenbroich, H.-J. (2016): Der INTEGRATOR. [url=http://integrator-online.de/]www.integrator-online.de[/url] [br][/*][/list]

[size=100][br][color=#980000][b]On the Top[/b][br][br]Differenzialrechnung: [url=https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf]Die Funktionenlupe[br][code][/code][br][/url]Integralrechnung: [url=https://www.geogebra.org/m/gfFc49CN]Der Integrator[br][/url][br]Corona-Pandemie, Modellierung: [url=https://www.geogebra.org/m/cfammtpe]Mathematik & Modellbildung[/url] und [url=https://www.geogebra.org/m/yf9szkan]Zuverlässigkeit von Corona Tests[/url] [br][br][/color][br][br][b]Videos[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/material/edit/id/hqrw9kew]Dynamische Arbeitsblätter. Mit Prof. B. Rott[/url] [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/s4ufndbm]Satz des Thales und des Pythagoras. Mit Prof. B. Rott[/url][br][br][url=https://www.youtube.com/watch?v=fdrv_teMfts&t=96s]Anschauliche Differenzialrechnung, Funktionenlupe Teil 1[/url][br][br][url=https://www.youtube.com/watch?v=v1Lf1eei5qU&t=175s]Anschauliche Differenzialrechnung, Funktionenlupe Teil 2[/url][br][br][br][b][br]Dynamisch Mathematik erkunden[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/a2bxt8xd]Innenwinkel & Außenwinkel[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/dvuxcvfe]Satz des Thales[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/xrvx5p99]Satz des Pythagoras[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/kbkn537r]Inkreis und Umkreis[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/eywjhg63][br]Sinus und Tangens[/url] [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/mr8utcxb]Quadratische Funktionen[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/fdxxxpug]Wurzeln und Wurzelfunktion[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/ad64mcn4]Anschauliche Differenzialrechnung[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/e2tk3bru]Anschauliche Integralrechnung[/url] [br][br][br][br][b]Geometrie 2D[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/grvqn6ed]Rund ums Pentagramm[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/rpehagzw]Visualisierung zum Goldenen Schnitt[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/hZXNwgBP]Variationen zum 'Rätsel der Woche' aus Spiegel online[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/yUpWswU7]Umkreist von Kreisen[/url][br][br]MU 6/2017: [url=https://www.geogebra.org/m/S9BD7bFt]Perspektivwechsel und Entdeckungen mit dynamischer Software[/url][br][br][br][b][br]Geometrie 3D[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/m/mmpd8yeq]Kegelschnitte dynamisch erkunden[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/bm8ybev6]Dodekaeder-Stern von Paulliac[/url][br][br]MNU 2/2019: [url=https://www.geogebra.org/m/ekEJVwvd]Modellierung von Kristallen[br][br][/url]Projektionsverfahren: [url=https://www.geogebra.org/m/CxyTKS3v]Perspektive? Ansichtssache[/url]![br][br][br][b]Arithmetik[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/m/vmgvpkup]Brüche erkennen 1[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/ct9xbskf]Brüche erkennen 2, Kreisteile[br][/url][br][br][br][b]Funktionen[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/sjhdhwan]Scheitelpunktform und Nullstellen[/url][br][br][size=150]ml 187: [url=https://www.geogebra.org/m/D9MwHus2#chapter/13547]Quadratische Funktionen dynamisch untersuchen[/url][br][br][/size][size=150]MatheWelt 187. Elschenbroich & Seebach: [url=https://www.geogebra.org/m/y87athww]Funktionen unter der Lupe[/url][/size][br][br][br][br][b]Modellbildung[br][/b][br]Corona-Pandemie: Mathematik & Modellbildung und [url=https://www.geogebra.org/m/yf9szkan]Zuverlässigkeit von Corona Tests[/url] [/size][br][br]Von der Änderung zu Bestand: [url=https://www.geogebra.org/m/kGp8dnfp]Modellieren mit dem Kumulator[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/htAvaYg2]Intuitiv modellieren mit dem Kumulator[/url][br][br][br][b]Analysis[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/m/mntk36dv]Das Funktionenmikroskop[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf]Die Funktionenlupe[br][/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/fvapyfwa]Die Unendlichkeitslupe[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/hymsqdyg][br]Leibniz Calculus[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/gfFc49CN]Der Integrator[br][/url][br]ICME 13, TSG 16: [url=https://www.geogebra.org/m/pGKnMH7d]A visual approach to calculus[/url][br][br]GeoGebra Gathering G2: [url=https://www.geogebra.org/m/FkiJoLEY]Function Loupe[/url][br][br]MatheWelt 187. Elschenbroich & Seebach: [url=https://www.geogebra.org/m/y87athww]Funktionen unter der Lupe[/url] [br][br][br][b][br]Allgemein[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/tde33heb]Beiträge zur Digitalisierungsdiskussion[/url][br][br]MU 6/2017: [url=https://www.geogebra.org/m/S9BD7bFt]Perspektivwechsel und Entdeckungen mit dynamischer Software[/url] [br][br][br][b][br][b]Alle öffentlichen Aktivitäten finden Sie unter [url=https://www.geogebra.org/u/elschenbroich]www.geogebra.org/u/elschenbroich[/url] .[/b][br][br][br][/b]Zusätzlich gibt es etliche nicht-öffentliche Books, die nur per Link für Teilnehmer von Workshops und Fortbildungen zugänglich sind.[br][br][br]Es gibt auch einen Link zur Erstveröffentlichung der Funktionenlupe (Elschenbroich, Seebach & Schmidt) in ml 187 und MatheWelt 187, die vom Friedrich Verlag, Anne Hilgers, hochgeladen worden ist. [br][br]Desweiteren gibt es ein Book zum [i]mathematik lehren Themenheft [/i][b]Elschenbroich & Seebach: Funktionen erkunden[/b]. Der Zugangslink befindet sich im [url=https://www.friedrich-verlag.de/shop/funktionen-erkunden-1840004-17802][i]mathematik lehren Themenheft[/i][/url]. [br][br]Als Teil einer Autorengruppe von MNU:[br]Heintz et alt. (2017): [url=https://www.geogebra.org/m/ffkqscre][b]Werkzeugkompetenzen - Kompetent mit digitalen Werkzeugen Mathematik betreiben[/b][/url]. MNU, Medienstatt.[br]