[size=150][color=#ff0000]RICHIAMO SULLE FUNZIONI; INDICARE ESPLICITAMENTE IL RISULTATO[/color][/size][br]Abbiamo già avuto occasione di parlare delle [i]funzioni[/i] con sono relazioni che ad un valore di [i]input[/i], solitamente indicato con la [math]\large{x}[/math], associano [b]uno ed un solo[/b] valore di [i]output[/i], indicato con la [math]\large{y}[/math].[br][br]Questo tipo di relazione è molto chiara quando viene esplicitata la [math]\large{y}[/math], cioè l'equazione della funzione è invertita in modo da isolare il risultato [math]\large{y}[/math]. Ad esempio la retta [math]\large{4x-3y+5=0}[/math] è una funzione, e lo si vede chiaramente esplicitando la [math]\large{y}[/math][br][br][math]\Large{4x-3y+5=0 \quad \rightarrow \quad -3y=-4x-5\quad \rightarrow \quad \textcolor{red}{y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}}}[/math][br][br]Nell'ultima [color=#ff0000]espressione in rosso[/color] è indicato chiaramente (cioè in modo [i]esplicito[/i]) come calcolare il risultato [math]\large{y}[/math], e dato che ognuna delle operazioni coinvolte dà un risultato univoco, possiamo dire che ad ogni valore di [math]\large{x}[/math] corrisponderà un solo risultato.[br][br][size=150][color=#ff0000]IL CASO DELLA CIRCONFERENZA[/color][/size][br]La circonferenza NON è una funzione. Prendiamo infatti una circonferenza di centro [math]\large{C(4,0)}[/math] e raggio [math]\large{R=2}[/math]; essa per definizione ha equazione:[br][br][math]\Large{\sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2}=2}[/math][br]che svolgendo i soliti calcoli e mettendo in ordine diventa[br][br][math]\Large{x^2+y^2-8x+12=0}[/math][br][br]Volendo ora esplicitare, cioè [i]trovare come si calcola [/i]la lettera [math]\large{y}[/math], portiamo tutto il resto dall'altra parte ed estraiamo la radice:[br][br][math]\Large{y^2=8x-x^2-12\qquad \rightarrow \qquad y=\pm\sqrt{8x-x^2-12}}[/math][br][br]Si vede chiaramente che ad ogni [math]\large{x}[/math] corrispondono due valori di [math]\large{y}[/math], uno positivo ed uno negativo.

[size=85]Ricavando la [math]\large{y}[/math] dall'equazione della circonferenza abbiamo ottenuto DUE formule. Per ogni valore della [math]\large{x}[/math], quindi otterremo DUE risultati che in [u]questo[/u] caso sono uno l'opposto dell'altro. Otteniamo quindi un grafico formato da due tratti "alternativi", che evidenziano l'ambiguità del risultato: dato un qualsiasi valore della [math]\large{x}[/math] otteniamo un risultato sulla curva verde ed uno su quella blu, e non abbiamo nessuna ragione per sceglierne uno piuttosto che l'altro[br] [/size][br]Notiamo tra l'altro che la funzione è definita solo per i valori di [math]\large{x}[/math] che rispettano le C.E. dell'espressione, cioè[br][br][math]\Large{8x-x^2-12 \ge 0}[/math][br][br]Questa è una disequazione di II grado che va risolta con il metodo della parabola (o studio del segno); puoi verificare che ha come soluzione [math]\large{2 \le x \le 6}[/math], cioè le [math]\large{x}[/math] per cui la circonferenza esiste (il DOMINIO dell'espressione).

[size=85]Nella figura si vede che entrambe le funzioni hanno delle C.E. che limitano i valori delle [math]\large{x}[/math] accettabili, cioè quelle che restituiscono un risultato valido ([color=#ff0000]cancellate in rosso le [/color][math]\large{x}[/math][color=#ff0000] che non rispettano le C.E.[/color]).[br][br]Vengono mostrati, con le frecce dei due colori, i due risultati per [math]\large{x=5}[/math], a ribadire che la circonferenza NON è una funzione in quanto non fornisce un risultato univoco per la [math]\large{y}[/math].[/size][list=1][/list]

[size=150][color=#ff0000]UN ESEMPIO PIÙ COMPLESSO[/color][br][/size][br]Consideriamo ora una circonferenza di centro [math]\large{C(1,-4)}[/math] e raggio [math]\large{R=3}[/math]; la sua equazione è [br][br][math]\Large{\sqrt{(x-1)^2+(y+4)^2}=3\qquad\qquad (1)}[/math][br][br]che svolgendo i soliti calcoli e mettendo in ordine diventa[br][br][math]\Large{x^2+y^2-2x+8y+8=0}[/math][br][br]Vogliamo esplicitare la [math]\large{y}[/math], cioè [i]trovarla: [color=#ff0000]in altre parole dobbiamo risolvere l'equazione rispetto alla lettera[/color] [math]\large{y}[/math][/i]. Consideriamo allora QUESTA LETTERA come la nostra incognita e tutto il resto come numeri (ovvero parametri): ordiniamo quindi per potenze decrescenti di [math]\large{y}[/math]:[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{y}^2+8\textcolor{red}{y}+x^2-2x+8=0}[/math][br][br]Abbiamo colorato in rosso la [math]\large{y}[/math] per mettere in evidenza la lettera che stiamo cercando; vediamo così che rispetto alla [math]\large{y}[/math] si tratta di un'equazione di II° grado rispetto alla quale la [math]\large{x}[/math] è un semplice parametro, cioè un numero: [i]NON[/i] è la lettera che ci interessa in questo momento. Mettiamo in evidenza i coefficienti di questa equazione.[br][br][math]\Large{\underbrace{1}_{a}\textcolor{red}{y}^2\underbrace{+8}_{b}\textcolor{red}{y}\underbrace{+x^2-2x+8}_c=0}[/math][br][br]Troviamo l'espressione corrispondente alla [math]\large{y}[/math] applicando la formula (usiamo la [i]ridotta[/i]): [br][br][math]\Large{y_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-(+x^2-2x+8)}}{1}\qquad \rightarrow \qquad y_{1,2}=-4\pm\sqrt{8-x^2+2x} }[/math][br][br]Vediamo che otteniamo un'espressione simile a quella dell'esempio precedente. Abbiamo un doppio risultato: [br][list=1][*] [math]\large{\textcolor{#007700}{-4+\sqrt{8-x^2+2x}}}[/math] parte da [math]\large{-4}[/math] (la [math]\large{y}[/math] del centro) e gli SOMMA una quantità[/*][*] [math]\large{\textcolor{red}{-4-\sqrt{8-x^2+2x}}}[/math] parte sempre da [math]\large{-4}[/math] ma gli TOGLIE la stessa quantità[/*][/list]evidentemente il primo risultato descrive la semicirconferenza superiore ed il secondo quella inferiore. Puoi verificarlo inserendo queste espressioni in Geogebra o un'altra calcolatrice grafica, riproducendo il grafico qui sotto.[br][br]

[br]Il [b][color=#ff0000]dominio[/color][/b] della funzione è dato dalle [math]\large{x}[/math] che soddisfano le C.E.[br][br][math]\Large{-x^2+2x+8 \ge 0}[/math][br][br]che con il metodo della parabola dà come risultati [math]\large{-2 \le x \le 4}[/math], cioè le [math]\large{x}[/math] che si ottengono partendo dalla [math]\large{x}[/math] del centro e spostandosi in avanti ed all'indietro al massimo della misura del raggio. [br][br][size=150][color=#ff0000]LA STESSA COSA IN MODO PIÙ SEMPLICE[br][/color][/size]Notiamo che la stessa cosa si può ottenere in modo più semplice partendo dalla equazione della circonferenza data dalla sua definizione. Se infatti consideriamo l'equazione [math]\large{(1)}[/math] ed eleviamo al quadrato otteniamo:[br][br][math]\Large{(x-1)^2+(y+4)^2=9}[/math][br][br]Questa equazione è molto più facile da invertire: portiamo il termine [math]\large{(x-1)^2}[/math] a secondo membro e ricaviamo la [math]\large{y}[/math]:[br][br][math]\Large{(y+4)^2=9-(x-1)^2 \quad \rightarrow \quad y+4=\pm\sqrt{9-(x-1)^2}\quad \rightarrow \quad y=-4\pm\sqrt{9-(x-1)^2}}[/math][br][br]Svolgendo i conti dentro la radice otteniamo la stessa identica espressione di prima.[br][br][size=150][color=#ff0000]ORA PROVA TU[br][br][/color][/size]Calcola la funzione corrispondente alla semicirconferenza in figura. [br]Verifica che il suo dominio sia limitato alle [math]\large{x}[/math] per cui è definita la circonferenza.[br]Quanto vale la [math]\large{y}[/math] del punto [math]\large{A}[/math]?

[b][color=#ff0000]SOLUZIONE (DA GUARDARE [u]DOPO[/u] AVERCI PROVATO DA SOLI!)[br][/color][br]DOMANDA 1[/b][br]Si tratta della parte [i]inferiore [/i] della circonferenza di centro [math]\large{C(1,2)}[/math] e raggio [math]\large{R=2}[/math]; iniziamo a scrivere l'equazione di questa circonferenza (eleviamo subito al quadrato per non avere la radice):[br][br][math]\Large{(x-1)^2+(y-2)^2=4}[/math][br][br]Invertiamo la formula per ricavare la [math]\large{y}[/math] ed avvicinarci alla forma di una funzione:[br][br][math]\Large{(x-1)^2+(y-2)^2=4 \quad \rightarrow \quad (y-2)^2=4-(x-1)^2 \quad \rightarrow \quad y-2=\pm\sqrt{4-(x-1)^2}}[/math][br][br]Il che, portando il [math]\large{-2}[/math] dall'altra parte e svolgendo i calcoli, ci porta a [br][br][math]\Large{y=2\pm\sqrt{3-x^2+2x}}[/math][br][br]Dato che a noi interessa la parte [i]inferiore[/i] della circonferenza, dei due possibili risultati prendiamo quello che [i]scende[/i] rispetto a [math]\large{2}[/math], cioè rispetto alla [math]\large{y}[/math] del centro, ed otteniamo la funzione cercata:[br][br][math]\Large{y=2-\sqrt{3-x^2+2x}}[/math][br][br][b]DOMANDA 2[/b][br]Il dominio della funzione è definito dalle C.E. della sua espressione, ed in particolare della radice che vi compare:[br][br][math]\Large{3-x^2+2x \ge 0}[/math][br][br]Risolvendo con il metodo della parabola si trova che le [math]\large{x}[/math] che soddisfano le C.E. sono quelle per cui [math]\large{-1 \le x \le 3}[/math], cioè quelle in cui è effettivamente confinata la nostra semicirconferenza.[br][br][b]DOMANDA 3[/b][br]Per trovare la [math]\large{y}[/math] del punto [math]\large{A}[/math] basta sostituire la sua [math]\large{x}[/math], che si vede essere [math]\large{2}[/math] dal disegno, nella funzione appena trovata.[br][br][math]\Large{y_A=2-\sqrt{3-\textcolor{red}{2}^2+2\cdot\textcolor{red}{2}}= 2-\sqrt{3-4+4} = 2-\sqrt{3} \approx 0,3}[/math][br][br]Il risultato ottenuto è coerente con la posizione del punto nel disegno del problema.

[size=150][color=#ff0000]IL PROBLEMA INVERSO[br][/color][/size]Proviamo ora a capire, utilizzando quanto abbiamo imparato, la forma del grafico della funzione [br][math]\large{y=1-\sqrt{-6x-5-x^2}}[/math][br][br][b][color=#ff0000]SOLUZIONE (DA GUARDARE [u]DOPO[/u] AVERCI PROVATO DA SOLI!)[br][/color][br][br][b][color=#ff0000]1) Innanzitutto calcoliamo le C.E. della funzione[/color][/b]. L'espressione contiene una radice pari, che darà risultato solo se il suo argomento è positivo o nullo, quindi se[br][br][math]\large{\textcolor{red}{-6x-5-x^2\ge0}}[/math][br][br]Questa disequazione di secondo grado va risolta con il metodo della parabola che dà come soluzioni[br][br][math]\large{\textcolor{red}{-5\le x \le -1}}[/math][br][br][color=#ff0000]tutte le [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] fuori da questo intervallo non daranno quindi risultato e vanno rimosse dal piano[/color].[br][br][b][color=#0000ff]2) Studiamo il segno del risultato[/color][/b], dato che le radici aritmetiche hanno un segno predefinito positivo. Per fare questo è comodo [b]isolare la radice[/b], che ci servirà anche dopo:[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{y=1-\sqrt{-6x-5-x^2} \qquad \rightarrow \qquad y-1=-\underbrace{\sqrt{-6x-5-x^2}}_{+_0}}}[/math][br][br]Il secondo membro è sicuramente negativo o nullo, dato che è una radice (che di per sé dà risultato [u]positivo[/u] o nullo) con un meno davanti. [b][color=#0000ff]Ne consegue che anche il primo membro sarà negativo o nullo[/color][/b], e che quindi [br][br][math]\large{\textcolor{blue}{y-1\le 0 \qquad \rightarrow \qquad y \le 1}}[/math][br][br][color=#0000ff]Tutte le [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math] maggiori di [math]\large{\textcolor{blue}{1}}[/math] rendono incompatibili i segni dei due membri dell'equazione, e vanno rimosse dal piano[/color].[br][br][color=#38761d][b]3) Eleviamo infine i due membri al quadrato (nella versione in cui la radice è isolata in uno di essi) e ricostruiamo la conica originale[/b] con il metodo di ricostruzione del quadrato[/color]:[br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{(\textcolor{black}{y-1})^2=(\textcolor{black}{-\sqrt{-6x-5-x^2}})^2 \qquad \rightarrow \qquad (y-1)^2=-6x -5-x^2}}[/math][br][br]La [math]\large{y}[/math] è già racchiusa in un quadrato di binomio ed è a posto. Spostiamo a primo membro i termini in [math]\large{x}[/math] e completiamoli in modo che appaia un quadrato di binomio bilanciando a secondo membro:[br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{(y-1)^2 + x^2+6x = -5 \qquad \rightarrow \qquad (y-1)^2+ \underbrace{x^2+6x \textcolor{black}{+9}}_{(x+3)^2}= -5\textcolor{black}{+9}}}[/math][br][br]Aggiungendo [math]\large{+9}[/math] abbiamo ottenuto un quadrato di binomio per la [math]\large{x}[/math]; abbiamo ovviamente aggiunto la stessa quantità a secondo membro per non cambiare l'equazione. Il risultato finale è quindi [br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{(y\textcolor{red}{-1})^2+ (x\textcolor{red}{+3})^2 = 4}}[/math][br][br][color=#38761d]Abbiamo quindi una circonferenza: tutti i punti che hanno distanza dal centro [math]\large{\textcolor{red}{C(-3, 1)}}[/math] pari a [math]\large{\textcolor{#007700}{2}}[/math][/color]. [color=#0000ff][b]Di questa circonferenza, tuttavia, dobbiamo prendere solo la parte coerente con le condizioni (1) e soprattutto le (2), che l'elevamento al quadrato hanno fatto "sparire"[/b][/color]. [br]