Se muestran las [color=#ff0000][b]cónicas circunscritas Ω[/b][/color] a un [b][color=#0000ff]△ABC[/color][/b] en función de cual sea su centro [color=#ff0000][b]M[/b][/color]. Dado el centro, [color=#ff0000][b]Ω[/b][/color] es única pues debe pasar por los tres vértices y sus simétricos respecto del centro. Si el centro se aleja hasta un punto del infinito del plano proyectivo, [color=#ff0000][b]Ω[/b][/color] es igualmente la única que pasa por los tres vértices y tiene un eje con la dirección dada por tal punto del infinito (ver [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Parabola_Circ_Triang.html]Parábola circunscrita a un triángulo[/url] y su [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Parabola3P1d.html]construcción[/url]).

Pulsando cada uno de los nueve botones se modifica la movilidad del punto [color=#ff0000][b]M[/b][/color]. El modo seleccionado queda en [color=#ff0000][b]rojo[/b][/color].[br][br]El punto [color=#ff0000][b]M[/b][/color] se puede desplazar arbitrariamente después de pulsar el botón [b][color=#0000ff][Libre][/color][/b]. Observese que si [color=#ff0000][b]M[/b][/color] está en el interior del triángulo medial o de los ángulos opuestos a él por sus vértices, [color=#ff0000][b]Ω[/b][/color] es una elipse. En el interior de las otras zonas en que las rectas [b][color=#38761d]s[sub]a[/sub][/color][/b], [color=#38761d][b]s[sub]b[/sub][/b][/color] y [color=#38761d][b]s[sub]c[/sub][/b][/color] dividen al plano, [color=#ff0000][b]Ω[/b][/color] es una hipérbola. Si está en estas rectas, se trata de un par de rectas paralelas, y si esta sobre las rectas de los lados, un par de rectas secantes. Los puntos medios de los lados son excepcionales: solo quedan 4 puntos distintos para determinar [color=#ff0000][b]Ω[/b][/color], por lo que hay una infinidad de ellas. Si [color=#ff0000][b]M[/b][/color] es un punto del infinito, como se ha dicho antes, [b][color=#ff0000]Ω[/color][/b] es una parábola .[br][br]Si [color=#ff0000][b]M[/b][/color] es el baricentro, [b][color=#ff0000]Ω[/color][/b] es la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Elipses_Steiner.html]circunelipse de Steiner[/url], la de menor área circunscrita al triángulo. Cuando [color=#ff0000][b]Ω[/b][/color] es una elipse, se expresa el cociente, siempre ≥ 1, entre su área y la de la circunelipse de Steiner.[br][br]Si [color=#ff0000][b]M [/b][/color]está en el circuncentro, [color=#ff0000][b]Ω[/b][/color] es trivialmente la circunferencia circunscrita. Que si el [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] no es equilátero, tiene mayor área que la circunelipse de Steiner.[br][br]Si [b][color=#ff0000]M[/color][/b] está en la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Circunferencia9P.html]circunferencia de los 9 puntos[/url] , [color=#ff0000][b]Ω[/b][/color] es una [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/HipEquiTriang.html]hipérbola equilátera que pasa por el ortocentro[/url] de [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color]. El recíproco también es cierto, cualquier hipérbola equilátera que pase por los tres vértices de un triángulo, tienen su centro en la circunferencia de los nueve puntos y pasa por el ortocentro. El cuarto punto de corte [color=#ff0000][b]Ω[/b][/color] con la circunferencia circunscrita es el simétrico del ortocentro respecto de [color=#ff0000][b]M[/b][/color], puesto que la circunferencia circunscrita y la de los nueve puntos son homotéticas con razón 2 respecto del ortocentro.[br][br]Si se pulsa [color=#0000ff][b][Recta r_G][/b][/color], [color=#ff0000][b]M[/b][/color] se desplazará por una recta que pasa por el baricentro y cuya dirección puede cambiarse moviendo el punto blanco de su intersección con la circunferencia circunscrita. Puede observarse así como la elipse/hipérbola se parece cada vez más a una parábola, para luego volver a elipse hipérbola, en función de la orientación de [color=#0000ff][b]r[sub]G[/sub][/b][/color].[br][br]Cuando [color=#ff0000][b]M[/b][/color] puede desplazarse por una línea, puede parase la animación y desplazar al punto [color=#ff0000][b]M[/b][/color] con el ratón, igual que que el punto [color=#ff0000][b]M[sup]→[/sup][/b][/color], que representa al correspondiente punto del infinito. [br][br]La casilla [b][Cuadrícula][/b] permite ver la cuadrícula y posicionar mejor el punto [b][color=#ff0000]M[/color][/b] cuando es el caso. Se puede desplazar el dibujo y hacer zoom a conveniencia, así como modificar los vértices del [b][color=#0000ff]△ABC[/color][/b].[br][br](Dedicado a Bruno, mi primer nieto, que nace hoy)