Topologia

Mateusz Maciejewski, Feb 14, 2016

Table of Contents

  1. Metryki
    1. nierówność trójkąta
    2. metryka euklidesowa R
    3. metryka euklidesowa R^2
    4. metryka miasto R^2
    5. metryka maksimum R^2
    6. metryka centrum R^2
    7. metryka rzeka R^2
    8. Metryka w przestrzeni X^N
    9. nierówność wielokąta
    10. nierówność (4 punkty)
    11. Metryka supremum
  2. Kule w przestrzeniach metrycznych
    1. kula - metryka euklidesowa (l_2)
    2. kula - metryka miasto (l_1)
    3. kula - metryka maksimum (l_\infty)
    4. kula - metryka l_p, p>=1
    5. kula - metryka l_p, p<1
    6. kula - metryka centrum (węzła kolejowego)
    7. kula - metryka rzeka
  3. Odległość punktu od zbioru, średnica
    1. Odległość punktu od zbioru w metryce euklidesowej
    2. Odległość punktu od zbioru w metryce miasto
    3. Średnica zbioru
  4. Otoczki w przestrzeniach metrycznych
    1. otoczki kwadratu
    2. otoczka w metryce euklidesowej
    3. otoczka w metryce maksimum
  5. Inne
    1. podbaza i baza topologii produktowej
    2. kula w podprzestrzeni

1.

Metryki

  • 1. nierówność trójkąta
  • 2. metryka euklidesowa R
  • 3. metryka euklidesowa R^2
  • 4. metryka miasto R^2
  • 5. metryka maksimum R^2
  • 6. metryka centrum R^2
  • 7. metryka rzeka R^2
  • 8. Metryka w przestrzeni X^N
  • 9. nierówność wielokąta
  • 10. nierówność (4 punkty)
  • 11. Metryka supremum

1.1.

nierówność trójkąta
– Mateusz Maciejewski

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

2.

Kule w przestrzeniach metrycznych

  • 1. kula - metryka euklidesowa (l_2)
  • 2. kula - metryka miasto (l_1)
  • 3. kula - metryka maksimum (l_\infty)
  • 4. kula - metryka l_p, p>=1
  • 5. kula - metryka l_p, p<1
  • 6. kula - metryka centrum (węzła kolejowego)
  • 7. kula - metryka rzeka

2.1.

kula - metryka euklidesowa (l_2)

Tak wyglądają kule w przestrzeni metrycznej [math]l_2^2=(\mathbb R^2,d_2)[/math] z metryką euklidesową. Można zmieniać środek kuli oraz promień.
– Mateusz Maciejewski

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

3.

Odległość punktu od zbioru, średnica

  • 1. Odległość punktu od zbioru w metryce euklidesowej
  • 2. Odległość punktu od zbioru w metryce miasto
  • 3. Średnica zbioru

3.1.

Odległość punktu od zbioru w metryce euklidesowej

Pomarańczowy punkt w kole to punkt ze zbioru A, który jest najbliższy punktowi x. Podobnie, pomarańczowy punkt w kwadracie to punkt ze zbioru B, który jest najbliższy punktowi y. Odległość dist(x,A) to odległość d(x,x'), czyli długość odcinka xx'. Podobnie odległość dist(y,B) to odległość d(y,y'), czyli długość odcinka yy'. Uwaga! Nie zawsze jest tak, że w zbiorze istnieje punkt najbliższy danemu punktowi. Dlatego w definicji odległości dist jest infimum, a nie minimum. Proszę zwrócić uwagę na inny sposób zdefiniowania odległości dist(x,A): jako długość największego promienia r, przy którym kula otwarta B(x,r) jest rozłączna z A. Kule rozłączne ze zbiorami o największym możliwym promieniu są zaznaczone kolorem bladopomarańczowym. Proszę również zwrócić uwagę na fakt, że jeśli punkt należy do zbioru (a przynajmniej do jego domknięcia), to odległość punktu od zbioru wynosi 0. Zmieniać można położenie zielonych punktów x i y oraz położenie zbiorów (koła i kwadratu) przy użyciu niebieskich punktów.
– Mateusz Maciejewski

3.2.

–

3.3.

–

4.

Otoczki w przestrzeniach metrycznych

  • 1. otoczki kwadratu
  • 2. otoczka w metryce euklidesowej
  • 3. otoczka w metryce maksimum

4.1.

otoczki kwadratu
– Mateusz Maciejewski

4.2.

–

4.3.

–

5.

Inne

  • 1. podbaza i baza topologii produktowej
  • 2. kula w podprzestrzeni

5.1.

podbaza i baza topologii produktowej

Materiał służy do pomocy w zrozumieniu topologii produktowej. Topologia produktowa jest zdefiniowana poprzez podbazę. W przypadku dwóch przestrzeni [math](X,\mathcal O_X)\times(Y,\mathcal O_Y)[/math] podbazą są zbiory postaci [math]\Pi^{-1}_1(U)=U\times Y[/math] oraz [math]\Pi^{-1}_2(V)=X\times V[/math], gdzie [math]U\in\mathcal O_X,\ V\in\mathcal O_Y[/math]. Zatem baza składa się ze zbiorów postaci [math]U\times V[/math], gdzie [math]U\in\mathcal O_X,\ V\in\mathcal O_Y[/math].
– Mateusz Maciejewski

5.2.

–

Information