0

Topologia

Mateusz Maciejewski, Feb 14, 2016

Metryki
1. nierówność trójkąta
2. metryka euklidesowa R
3. metryka euklidesowa R^2
4. metryka miasto R^2
5. metryka maksimum R^2
6. metryka centrum R^2
7. metryka rzeka R^2
8. Metryka w przestrzeni X^N
9. nierówność wielokąta
10. nierówność (4 punkty)
11. Metryka supremum
Kule w przestrzeniach metrycznych
1. kula - metryka euklidesowa (l_2)
2. kula - metryka miasto (l_1)
3. kula - metryka maksimum (l_\infty)
4. kula - metryka l_p, p>=1
5. kula - metryka l_p, p<1
6. kula - metryka centrum (węzła kolejowego)
7. kula - metryka rzeka
Odległość punktu od zbioru, średnica
1. Odległość punktu od zbioru w metryce euklidesowej
2. Odległość punktu od zbioru w metryce miasto
3. Średnica zbioru
Otoczki w przestrzeniach metrycznych
1. otoczki kwadratu
2. otoczka w metryce euklidesowej
3. otoczka w metryce maksimum
Inne
1. podbaza i baza topologii produktowej
2. kula w podprzestrzeni

Information

Metryki

nierówność trójkąta

Kule w przestrzeniach metrycznych

1. kula - metryka euklidesowa (l_2)
2. kula - metryka miasto (l_1)
3. kula - metryka maksimum (l_\infty)
4. kula - metryka l_p, p>=1
5. kula - metryka l_p, p<1
6. kula - metryka centrum (węzła kolejowego)
7. kula - metryka rzeka

kula - metryka euklidesowa (l_2)

Tak wyglądają kule w przestrzeni metrycznej z metryką euklidesową. Można zmieniać środek kuli oraz promień.

Odległość punktu od zbioru, średnica

1. Odległość punktu od zbioru w metryce euklidesowej
2. Odległość punktu od zbioru w metryce miasto
3. Średnica zbioru

Odległość punktu od zbioru w metryce euklidesowej

Pomarańczowy punkt w kole to punkt ze zbioru A, który jest najbliższy punktowi x. Podobnie, pomarańczowy punkt w kwadracie to punkt ze zbioru B, który jest najbliższy punktowi y. Odległość dist(x,A) to odległość d(x,x'), czyli długość odcinka xx'. Podobnie odległość dist(y,B) to odległość d(y,y'), czyli długość odcinka yy'. Uwaga! Nie zawsze jest tak, że w zbiorze istnieje punkt najbliższy danemu punktowi. Dlatego w definicji odległości dist jest infimum, a nie minimum. Proszę zwrócić uwagę na inny sposób zdefiniowania odległości dist(x,A): jako długość największego promienia r, przy którym kula otwarta B(x,r) jest rozłączna z A. Kule rozłączne ze zbiorami o największym możliwym promieniu są zaznaczone kolorem bladopomarańczowym. Proszę również zwrócić uwagę na fakt, że jeśli punkt należy do zbioru (a przynajmniej do jego domknięcia), to odległość punktu od zbioru wynosi 0. Zmieniać można położenie zielonych punktów x i y oraz położenie zbiorów (koła i kwadratu) przy użyciu niebieskich punktów.

3.2.

3.3.

4.

Otoczki w przestrzeniach metrycznych

1. otoczki kwadratu
2. otoczka w metryce euklidesowej
3. otoczka w metryce maksimum

4.1.

otoczki kwadratu

4.2.

4.3.

5.

Inne

1. podbaza i baza topologii produktowej
2. kula w podprzestrzeni

5.1.

podbaza i baza topologii produktowej

Materiał służy do pomocy w zrozumieniu topologii produktowej. Topologia produktowa jest zdefiniowana poprzez podbazę. W przypadku dwóch przestrzeni podbazą są zbiory postaci oraz , gdzie . Zatem baza składa się ze zbiorów postaci , gdzie .

0