Geometría del movimiento
Envolventes y causticas
Table of Contents
- Envolventes
- La parábola
- Elipse e hipérbola
- La velocidad importa
- Causticas
- Una taza de café
- Tareas
- Tareas
La parábola
La parábola como lugar geométrico
La parábola es un concepto que tiene significados muy distintos, pero su definición matemática es la siguiente:[br]En matemáticas, una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (llamado [b]foco[/b]) y de una recta fija (denominada [b]directriz[/b]).[br]Por lo tanto, cualquier punto de una parábola esta a la misma distancia de su foco y de su directriz.
La parábola como envolvente
Una curva es [b]envolvente [/b]de una familia de curvas (rectas, círculos, etc..) cuando para cada punto de la curva existe un miembro de la familia de curvas que es tangente en él, es decir, sólo toca a la curva en ese punto. [br][br]Este concepto un tanto difícil de entender se ve claramente en la siguiente escena.[br][br]En nuestro caso, vamos a considerar todas las rectas [b]mediatrices [/b]de un punto de una recta ([i]directriz[/i]) y un punto exterior a ella ([i]foco[/i]). Si te fijas verás como para cada punto de la parábola hay una mediatriz que es tangente a la parábola en ese punto. Si activas el rastro de las mediatrices verás, como al ir moviéndose el punto de la recta, el rastro de las mediatrices va formando una parábola. [br]Puedes mover el punto P manualmente o de forma automática.
[size=150]La escalera que se desliza[br][br][size=100]Si consideramos las distintas posiciones de una escalera cuando se desliza apoyada en el suelo y en una pared, tenemos otra vez como envolvente de las distintas posiciones de la escalera a la parábola. si reflejamos el movimiento de nuestra escalera obtenemos como envolvente una curta que se llama astroide.[/size][/size]
Una taza de café
En óptica, una [b]cáustica[/b] es la envolvente de los rayos de luz reflejados o refractados por una superficie curva u objeto , o la proyección de esa envolvente de rayos en otra superficie. [br][br]Si nos fijamos en la siguiente escena vemos una taza en cuyo fondo aparece reflejada una curva [i]cardioide[/i]. Esto ocurre cuando el foco de luz está en el borde de la taza o lo suficientemente lejos para considerar los rayos de luz paralelos. [br][br]En este caso la [i]cardioide [/i]sería la [i]caustica [/i]de la [i]circunferencia [/i]que forma la taza.[br][br]Si en lugar de un foco de luz hubiéramos utilizado dos focos de luz podríamos haber obtenido como [i]caustica [/i]una [i]nefroide[/i].
Tareas
Realiza con GeoGebra dos escenas en las que:[br][br][list][*]Aparezca la parábola como envolvente.[/*][/list][br][list][*]Aparezca la elipse o la hipérbola como envolvente.[/*][/list]