[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/zapmd8rf][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [color=#0000ff][u][b][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/url][/b][/u][/color] ([color=#ff7700][i][b]05.02.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table]

[size=85]Die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] eines [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] durch [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[sub]1[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][/b] sind als [b][i][color=#0000ff]Bahnkurven[/color][/i][/b] durch die [br][/size][list][*][size=85][b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] [math]p'=\frac{\left(p-f_1\right)\cdot\left(p-f_2\right)}{\left(f_1-f_2\right)}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]charakterisiert. Die [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] erzeugt in der [b][i]komplexen Ebene[/i][/b] [math]\mathbb{C}[/math] ein [b][i][color=#00ffff]Vektorfeld[/color][/i][/b], deren [b][i][color=#38761d]Lösungskurven[/color][/i][/b] [br]die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] durch [size=85] [b][color=#00ff00]f[sub]1[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][/b][/size] sind.[br]Ein zweites [b][i][color=#ff0000]elliptisches Kreisbüschel[/color][/i][/b] mit den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [size=85] [b][color=#00ff00]f[sub]3[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]4[/sub][/color][/b] wird durch eine analoge [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] beschrieben.[br][br]Das "[b][i]Produkt[/i][/b]" [/size][br][/size][list][*][size=85] [math]\left(g'\right)^2=\frac{\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)}{f_1-f_2}\cdot\frac{\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)}{f_3-f_4}[/math] ist die [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] einer [b][i][color=#ff00ff]elliptischen Funktion[/color][/i][/b] [math]z\mapsto g\left(z\right)[/math], [br]wenn die [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] verschieden sind.[/size][/*][/list][size=85]Die [b][i][color=#38761d]Lösungskurven[/color][/i][/b] dieser [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] aus den [br]beiden [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüscheln[/color][/i][/b]:[br]Durch jeden [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] der Ebene (von den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] abgesehen) geht aus jedem der beiden [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] genau ein [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b].[br]Man lege im obigen Applet die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]p[sub]2[/sub][/color][/b] und [b][color=#ff0000]p[/color][/b] übereinander ([/size][size=85][b][color=#ff0000]p[sub]2[/sub][/color][/b] [math]\longrightarrow[/math] [b][color=#ff0000]p[/color][/b][/size][size=85]); es ist dann [math]g'=\sqrt{p'\cdot p'_2}[/math], das ist genau[br]die [b][i][color=#0000ff]winkelhalbierende[/color][/i][/b] Richtung; eine Folge der geometrischen Eigenschaften der [b][i]komplexen Multiplikation[/i][/b]![br] [br]Ein analoges Ergebnis erhält man, wenn eines der beiden [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]hyperbolisch[/color][/i][/b] ist; die [b][i][color=#38761d]Lösungskurven[/color][/i][/b] schneiden [br]die des 1. Beispiels unter [b][color=#cc0000]45°[/color][/b].[/size]