[size=150][b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][/b][/size][size=150][b]＜特異点と留数＞[/b][/size][size=150][size=100][br]前回[br]f(z)＝g(z)/(z-a)のとき[br]「CDにおけるf(z)の周回積分＝CrDにおけるf(z)の周回積分」[br]を考えて[br]Cr上のz=a+re[sup]iθ[/sup]について、dz=dz/dθ dθ= ir e[sup]iθ[/sup]dθから、1/(z-a)=1/re[sup]iθ[/sup]、[br]1/(z-a)dz = 1/re[sup]iθ[/sup] ir e[sup]iθ [/sup]dθ＝ i dθとなる。だから、ｒ→０のとき、極限は[br]∫[sub]C [/sub]g(z)/(z-a) dz=∫[sub]Cr [/sub]g(z)/(z-a) dz=∫[sub]0[/sub] [sup]2π[/sup] g(a + re[sup]iθ[/sup]) i dθ→∫[sub]0[/sub] [sup]2π[/sup] g(a) i dθ＝g(a) i[ θ] [sub]0[/sub] [sup]2π [/sup] =2πi [b]g(a)[/b] 　[br][b][color=#0000ff]∫[sub]C [/sub][/color][/b][math]\frac{g\left(z\right)}{z-a}[/math][b][color=#0000ff] dz＝[/color][size=150][color=#0000ff]2πi g(a) [/color][/size][/b]としたね。[br][br]関数f(z)＝g(z)/(z-a)がz=aで正則でないときaを[b]特異点（singular point)[/b]という。[br]今回は、[br]g(z)=f(z)(z-a)の周回積分をしてみよう。[br]「CDにおけるg(z)の周回積分＝CrDにおけるg(z)の周回積分」を考えて[br]Cr上のz=a+re[sup]iθ[/sup]について、dz=dz/dθ dθ= i re[sup]iθ[/sup]dθから、ｒ→０のとき、つまり、[br][b]z→aのとき、g(z)=f(z)(z-a)[/b]の極限を[b]A=g(a)[/b]とすれば、[br]∫[sub]C [/sub]g(z)dz=∫[sub]Cr [/sub]g(z) dz=∫[sub]0[/sub] [sup]2π[/sup] g(a + re[sup]iθ[/sup]) i re[sup]iθ[/sup]dθ→i ∫[sub]0[/sub] [sup]2π[/sup] g(a) dθ=iA [ θ] [sub]0[/sub] [sup]2π [/sup] =2πi A 　[br][b][color=#0000ff]∫[sub]C [/sub][/color][/b][math]f\left(z\right)[/math][b][color=#0000ff] dz＝[/color][size=150][color=#0000ff]2πi A [/color][/size][/b][br]このAを[b]留数(residue)[/b]という。[br][/size][/size][br]留数はこれだけではない。[br][br]今回はコーシー積分の定理と公式を利用して、[br]級数展開と関連付けることで[b]留数[/b]をさらに深めていこう。[br][br]そして、その事実を[b]実関数の積分[/b]の解法につないでみよう。

[b][size=150]＜テーラー展開＞[br][/size][/b]正則関数は実関数と同じくテーラー展開ができます。[br]くわしく見ていきましょう。[br][br]関数f(z)が領域Dで正則で、D内の適当な点aを中心とする半径Rの円Cがある。[br]CDの点ｚをとり、ｚを含むCの同心円でRより小さい半径ｒの円Crを作ろう。[br]コーシーの積分表示から[size=150][color=#0000ff][b]f(z)[/b]=[/color][b][color=#0000ff]1/[/color][color=#0000ff]2πi ∫[sub]Cr [/sub][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}[/math] dζ　　（コーシー積分公式）[br][/color][/b][/size][b][color=#0000ff]点ζは円Crの周上にあり、点ｚは円の内部にあるので、|(z-a)/(ζ-a)|＜1 [br][/color][/b]等比数列の和の公式からk＜１のとき、1/(１－k)=1+k+k[sup]2[/sup]+k[sup]3[/sup]+..............[br]だから、[b]k＝[/b][b][color=#0000ff]([/color]z-a)/(ζ-a)とおくと、[br][/b]1/(ζ-z)=1/[(ζ-a)-(z-a)]=1/(ζ-a)*1/(1- k) =1/(ζ-a)[1+k+k[sup]2[/sup]+k[sup]3[/sup]+.............]だから、[br][color=#0000ff][b]f(z)[/b]=[b][color=#0000ff]1/[/color][color=#0000ff]2πi ∫[sub]Cr [/sub][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}[/math] dζ＝[/color][/b][/color][b][color=#0000ff]1/[/color][color=#0000ff]2πi ∫[sub]Cr [/sub][math]f\left(\zeta\right)[/math] 1/(ζ-a)[1+k+k[sup]2[/sup]+k[sup]3[/sup]+.............]dζ[br][/color][/b]＝1/2πi ∫[sub]Cr [/sub][math]f\left(\zeta\right)[/math] 1/(ζ-a)[1+(z-a)/(ζ-a)+[(z-a)/(ζ-a)][sup]2[/sup]+[(z-a)/(ζ-a)][sup]3[/sup]+.............]dζ[br]=Σ[sub]n=0[/sub][sup]∞　[/sup] [color=#0000ff]1/2πi∫[sub]Cr [/sub][/color][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-a\right)^{n+1}}[/math][color=#0000ff]dζ[/color][size=150](z-a)[sup]n[/sup][/size][sup]　[/sup]　[br]　（z-a)の次数より1/(ζ-a)の次数が１多い。[br]さらに、[size=150][size=150][size=150][size=150][size=150]グルサー公式の変形で、1/2πi[color=#0000ff][size=150][size=150][color=#0000ff]∫[sub]C [/sub][/color][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-a\right)^{n+1}}[/math][color=#0000ff] dζ [b]= f(a)[/b][sup](n)[/sup][b]/n! [/b][/color][/size][/size][br][/color][/size][/size][/size][/size][/size]となるね。[br][br]・[b][size=150]テーラーの級数展開[/size][/b][br]だから、[b]正則関数f(z)[/b]のテーラー級数展開は、[br][b]f(z)[/b]=Σ[sub]n=0[/sub][sup]∞ [/sup][b]f(a)[/b][sup](n)[/sup][b]/n! [size=150](z-a)[sup]n[/sup][/size][/b]= f(a) + f'(a)/1! * (z-a) + f''(a)/2! * (z-a)[sup]2[/sup] +f'''(a)/3! * (z-a)[sup]3[/sup]+................. [br]実関数と同じ式だ。[br]特にa=0とすると、[b]マクローリン級数[/b]ができるね。[br][b]f(z)[/b]=Σ[sub]n=0[/sub][sup]∞ [/sup][b]f(０)[/b][sup](n)[/sup][b]/n! [size=150](z)[sup]n[br][/sup][/size][/b]= f(0) + f'(0)/1! * z + f''(0)/2! * z[sup]2[/sup] +f'''(0)/3! * z[sup]3[/sup]+................. [br][br]・[b][size=150]テーラーの定理[br][/size][/b]正則関数f(z)があるとき、f1(z)=(f(z)-f(a))/(z-a)(z≠aのとき）f'(a)(z=aのときは微分係数）としよう。[br]これから順次、[br][b]f2(z)=(f1(z)-f1(a))/(z-a)[/b](z≠aのとき）f'1(a)(z=aのときは微分係数）[br]f3(z)=(f2(z)-f2(a))/(z-a)(z≠aのとき）f'2(a)(z=aのときは微分係数）[br]................[br][b]fn(z)=(f[sub]n-1[/sub](z)-f[sub]n-1[/sub](a))/(z-a)[/b](z≠aのとき）f'n-1(a)(z=aのときは微分係数）[br]としよう。[br]式変形すると、[br][b]f(a)＋(z-a)f1(z)=f(z)[br][/b]f1(a)＋(z-a)f2(z)=f1(z)[br]f2(a)＋(z-a)f3(z)=f2(z)[br]................[br][b]f[sub]n-1[/sub](a)＋(z-a)fn(z)=f[sub]n-1[/sub](z)[br][/b]これらを順次代入すると、[br]f(z)＝f(a)＋(z-a)f1([b]z[/b])[br]f(z)＝f(a)＋(z-a)[f1([b]a[/b])＋(z-a)f2([b]z[/b])][br]f(z)＝f(a)＋(z-a)[f1([b]a[/b])＋(z-a)[f2([b]a[/b])＋(z-a)f3([b]z[/b])]][br]……[br]f(z)=f(a)＋(z-a)[f1([b]a[/b])＋(z-a)[f2([b]a[/b])＋(z-a)[f3([b]a[/b])+...................[f[sub]n-1[/sub](a)＋(z-a)[b]fn(z)[/b]]]] .... ]]][br]f(z)= f(a)＋(z-a)f1([b]a[/b])＋(z-a)[sup]2 [/sup]f2([b]a[/b])＋(z-a)[sup]3 [/sup]f3([b]a[/b])+.................+(z-a)[sup]n-1 [/sup]f[sub]n-1[/sub]([b]a[/b])+(z-a)[sup]n [/sup][b]fn(z)[/b][br]この式を順次微分してから、両辺にｚ＝aを代入すると、[br]f'(a)=f1(a)[br]f''(a)=2!f2(a)[br]f'''(a)=3!f3(a)[br]..............[br]となるので、f(z)のk次の(z-a)[sup]k[/sup]の係数[b]f[sub]k[/sub](a)=f[sup](k)[/sup](a)/k![/b]と置き換えが可能となるね。[br]ただし、(z-a)[sup]n[/sup]の係数としての[b]fn(z)はfn(a)ではない[/b]ので置き換えられない。[br][br][b]f(z)= f(a)＋f'(a)/1! *(z-a)＋f"(a)/2! *(z-a)[sup]2[/sup]＋f '''(a)/3! *(z-a)[sup]3[/sup]+.................+f[sup](n-1)[/sup](a)/(n-1)!* (z-a)[sup]n-1[br][/sup] +[b]fn(z)[/b](z-a)[sup]n[/sup][br][/b][br]最後の項を[b][color=#0000ff]F(z)=fn(z)(z-a)[sup]n[/sup][/color][/b]とすると、F(z)も正則関数になるね。[br][b]f(z)[/b]=f(a) + f'(a)/1! * (z-a) + f''(a)/2! * (z-a)[sup]2[/sup] +f'''(a)/3! * (z-a)[sup]3[/sup]+.............[b]+f[sup](n-1)[/sup](a)/(n-1)!* (z-a)[sup]n-1[/sup][/b]＋F(z)[br]をテーラーの定理という。[br]テーラーの定理のｎ次の項は、テーラー級数展開のｎ次以降の無限級数を１つの項にまとめた形だね。[br]これはこれで、役立つけれど、ｎ次の項だけ係数が[b][color=#0000ff]f[sup](n)[/sup](a)/n!ではなく、fn(z)のまま[/color][/b]なので、注意しよう。

複素関数f(z)の特異点がaのとき、点aで０でも∞でもない正則関数[b]g(z)[/b]を使って,[br][b][color=#0000ff]f(z)=g(z)/(z-a)[sup]k[/sup][/color][/b] とかけるとき、複素数f(z)は[b]aでｋ位（ｋ次）の極(pole)[/b]をもつということにします。[br]言い換えると、f(z)のままでは、aにおいては正則ではありませんが、[br]g(z)=f(z)*(z-a)[sup]k[/sup]とすることで、特異点が解消されて[b]gは正則[/b]になるね。[br][br]ｇは正則関数だから、テーラーの定理から最後の項を[b][color=#0000ff]G(z)=gn(z)(z-a)[sup]n[/sup][/color][/b]も正則関数で、[br][b]g(z)[/b]=g(a) + g'(a)/1! * (z-a) + g''(a)/2! * (z-a)[sup]2[/sup] +g'''(a)/3! * (z-a)[sup]3[/sup]+.............[b]+g[sup](n-1)[/sup](a)/(n-1)!* (z-a)[sup]n-1[/sup][/b]＋G(z)[br]と展開できるね。[br][br]ここで、両辺のすべての項を[b](z-a)[sup]k[/sup] [/b]で割ってみる。[b][sup][br][/sup][/b][b]右辺のｋ次が０次になり、k-1次がー1次、k＋1次が1次になる。[br]g(z)/[b](z-a)[sup]k[/sup] [br][/b][/b]=g(a) /[b](z-a)[sup]k[/sup] [/b]+ g'(a)/1! * (z-a)/[b](z-a)[sup]k[/sup] [/b] + g''(a)/2! * (z-a)[sup]2[/sup] /[b](z-a)[sup]k[/sup] [/b]+g'''(a)/3! * (z-a)[sup]3[/sup]/[b](z-a)[sup]k[/sup] [/b].............[br][b]+g[sup](n-1)[/sup](a)/(n-1)!* (z-a)[sup]n-1[/sup][/b]/[b](z-a)[sup]k[/sup] +[/b]G(z)/[b](z-a)[sup]k[/sup] [/b][br][b][br]f(z)[/b]=g(a)* [b](z-a)[sup]-k[/sup] [/b]+ g'(a)/1!* [b](z-a)[sup]1-k[/sup] [/b] + .........................[br] +[b][color=#0000ff]g[sup](k-1)[/sup](a)/(k-1)!* (z-a)[sup]-1[/sup][/color] [br] +g[sup](k)[/sup](a)/k!*(z-a)[sup]0[/sup] +g[sup](k+1)[/sup](a)/3!*(z-a)[sup]1[/sup] +[/b].......................[br][br][b][size=150]＜留数の定理＞[br][/size][/b]・ここで、正則関数f(z)を[b]周回積分してみよう[/b]。[br]左辺は[b]∫f(z)dz[/b][br]右辺円C：|z-a|=r（反時計回り）にそった周回積分は、[b]1/(z-a)→2πi、1/(z-a)[sup]n[/sup]→0。べき関数→０[/b]だから、[br]0次以上の項はすべてべき関数の周回積分は[b]正則関数の積分[/b]だから０[br]－2次以下の項は[b]eの周期が2πiだから差は０[/b]になる。[br][b][color=#0000ff]－1次の項だけ[/color][/b]、∫C 1/(z-a) dz=∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] r[sup]-1[/sup] e[sup]-iθ[/sup] i r [sup]eiθ[/sup] dθ = i∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] 1 dθ=i[θ] [sub]0[/sub][sup]2π[/sup] =[b][color=#0000ff]2πiとなり０以外に留まる[/color][/b]。[br]留まる数、留数([b]res[/b]idue)は1/(z-a)の分子の係数[b]g[sup](k-1)[/sup](a)/(k-1)!で、Res（f(z),a）と名付ける。[br][/b][size=150][color=#0000ff]∫f(z)dz＝∫ [b]g[sup](k-1)[/sup](a)/(k-1)! [/b]/(z-a) dz =2πi [b]Res(f(z),a)[/b] [br][b]g[sup](k-1)[/sup](z)=[f(z)(z-a)[sup]k[/sup]][sup](k-1)[/sup][/b]だから、[br][size=150][color=#0000ff]Res(f(z),a) =1[b]/(k-1)! lim[sub]z→a[/sub] [/b][b][f(z)(z-a)[sup]k[/sup]][sup](k-1)[/sup][/b][/color][/size][/color][/size]これを留数定理という。[br][br]・積分経路がかこむ[b]領域の中に特異点[/b]がa1,a2,a3,.....,ajとある場合、それぞれの留数をAj=Res(f(z),aj)[br]とすると、[br]積分の線形性から、[br]∫f(z)dz＝2πi (A1+A2+.........+Aj)のように加算できるね。[br][br]・留数の求め方の注意。[br]　特異点によって次数がちがうので、f(z)が同じでもg(z)が変わるということ。[br]　aが1次（1位）の極ならば、微分せずにA=g(a)=[b]lim[sub]z→a[/sub] [/b]f(z)(z-a)[br]　aがk次（k位）の極ならば、k-1階微分してA=[b]g[sup](k-1)[/sup](a)[/b]=1[b]/(k-1)! [/b][b]lim[sub]z→a[/sub] [/b][b][f(z)(z-a)[sup]k[/sup]][sup](k-1)[br][/sup][size=150][sup][br][/sup]＜ローラン展開＞[/size][/b][br]２つの円C1：|z-a|=r1とC2：|z-a|=r2（r1＞r2)にはさまれた領域Dで正則な関数f(z)は[br]領域D内の単閉Cとするとき、[br]f(z)=テーラー展開＋特異部＝Σ[sub]k=0[/sub][sup]∞[/sup]ck(z-a)[sup]k[/sup]+Σ[sub]k=1[/sub][sup]∞[/sup]bk(z-a)[sup]-k[/sup][br]　(ck= 1/2πi *∫[sub]C[/sub]f(ζ) (ζ-a)[sup]-k-1[/sup] dζ　、bk=1/2πi *∫[sub]C[/sub]f(ζ) (ζ-a)[sup]k-1[/sup] dζ ) [br]f(z)=[size=150][b][color=#0000ff]Σ[sub]-∞[/sub][sup]∞ [/sup]b[sub]n[/sub](z-a)[/color][/b][sup][b][color=#0000ff]n[/color][/b][/sup][/size][sup][b][color=#0000ff][/color][/b]　[/sup]　b[sub]n[/sub]= [math]\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(ζ)}{\left(\zeta-a\right)^{n+1}}[/math][sup][/sup] dζ[br]このように、テーラー展開を拡張したものをローラン展開といいますね。[br][br]詳細は略しますが、C=C1-C2[br]f(z)=1/2πi *∫[sub]C1[/sub]f(ζ) /(ζ-z)dζ - 1/2πi *∫[sub]C2[/sub]f(ζ) /(ζ-z) dζ [br]1/(ζ-z)のべき級数展開を第1項に代入したものがテーラー展開でした。[br]1/(ζ-z)のべき級数展開を第２項に代入したものが特異部になります。[br][br]・ローラン展開でもグルサー公式の変形1/2πi[color=#0000ff][size=150][size=150][color=#0000ff]∫[sub]C [/sub][/color][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-a\right)^{n+1}}[/math][color=#0000ff] dζ [b]= f(a)[/b][sup](n)[/sup][b]/n! を代入すれば、[br][/b]f(z)=[size=150][b][color=#0000ff]Σ[sub]-∞[/sub][sup]∞ [/sup]b[sub]n[/sub](z-a)[/color][/b][sup][b][color=#0000ff]n[/color][/b][/sup][/size][sup][b][color=#0000ff][/color][/b]　[/sup]　b[sub]n[/sub]= [math]\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(ζ)}{\left(\zeta-a\right)^{n+1}}[/math][sup][/sup] dζ[br]=.....+b[sub]-2[/sub]/(z-a)[sup]2[/sup]+b[sub]-1[/sub]/(z-a)+b[sub]0[/sub]+b[sub]1[/sub](z-a)+b[sub]2[/sub](z-a)[sup]2[/sup]+....................[br]=.....+b[sub]-2[/sub]/(z-a)[sup]2[/sup]+b[sub]-1[/sub]/(z-a)+f(a) + f'(a)/1! * (z-a) + f''(a)/2! * (z-a)[sup]2[/sup] +................. [br][/color][/size][/size][/color]f(z)を周回積分すると、[br]∫f(z)dz =∫ b[sub]-1[/sub]/(z-a) dz= 2πi A (A=b[sub]-1[/sub])[br][br]・f(z)がaがｋ位の極なら、f(z)=g(z)/(z-a)[sup]k[/sup]だから、g(z)=f(z)(z-a)[sup]k[/sup] [br] ローラン展開はf(z)=b[sub]-k[/sub]/(z-a)[sup]k[/sup]+.....+b[sub]-2[/sub]/(z-a)[sup]2[/sup]+b[sub]-1[/sub]/(z-a)+b[sub]0[/sub]+b[sub]1[/sub](z-a)+b[sub]2[/sub](z-a)[sup]2[/sup]+....................[br] =φ(z)+b[sub]-1[/sub]/(z-a)+b[sub]-2[/sub]/(z-a)[sup]2[/sup]+......+ b[sub]-k[/sub]/(z-a)[sup]k[br][/sup]f(z)に(z-a)kをかけるとb[sub]-1[/sub]/(z-a)は(k-1)次式となる。f(z)(z-a)kをk-1階微分すれば、b[sub]-1[/sub]定数で残る。[br]A=lim[sub]z→a[/sub] g[sup](n-1) [/sup]=lim[sub]z→a[/sub] [f(z)(z-a)[sup]k[/sup]][sup](n-1) [/sup]=b[sub]-1[/sub]

[b][size=150]＜実有理関数の積分＞[/size][/b][br][size=150][b]「X８＝∫[sub]-∞[/sub][sup]∞[/sup][/b][math]\frac{1}{1+x^2}[/math][b][sup] [/sup]dx = π 」[br][/b][/size]を求めるために、留数定理を使ってみよう。[br][br]X=∫[sub]-r[/sub][sup]r[/sup][math]\frac{1}{1+x^2}[/math] dxのｒを∞にした極限値がX８になる。 [sup][br][/sup]C1：実軸上の-rからrまでの線分で、この積分値はXと等しい。[br]C2：複素平面で半径ｒの半円|z|=r で、虚部が正、左回りでの積分値をAとする。[br]C=C1+C2：周回積分の値をBとする。[sup][br][/sup][math]\int_c\frac{1}{1+z^2}dz=\int_{c1}\frac{1}{1+z^2}dz+\int_{c2}\frac{1}{1+z^2}dz[/math][sup] [br][/sup]B=X+A[br]それぞれ、ｒを∞にした値をX８、A８、B８としよう。[br]B8=X8+A8[br]１＋ｚ[sup]2[/sup]＝(z+i)(z-i)だから、Cでの周回積分はf(z)=1/(１＋ｚ[sup]2[/sup])のとき、g(z)=1/(z+i)とすると、[br]f(z)＝g(z)/(z-i)はz=iが特異点で、1次の極になる。留数はg(i)=1/2i[br]B＝2πi[Res[f(i)]= 2πi/2i= π　だから、B8=π。[br]一方、z=re[sup]iθ[/sup] (０≦θ≦π）dz=dz/dθ dθ = i re[sup]iθ [/sup]dθ,1/(1+z[sup]2[/sup])=1/(1+r[sup]2[/sup]e[sup]i2θ[/sup])　とすると、[br]A＝∫[sub]C2[/sub] f(z) dz=∫[sub]0[/sub][sup]π[/sup] 1/(1+r[sup]2[/sup]e[sup]i2θ[/sup]) i re[sup]iθ [/sup]dθ=i∫[sub]0[/sub][sup]π[/sup] 1/(1/r+re[sup]i2θ[/sup]) e[sup]iθ [/sup]dθだから、ｒ→∞のときA8＝A→ 0 [br]以上から、＝π-0=π[br]（例）[br][b]「X８＝∫[sub]-∞[/sub][sup]∞[/sup][/b][math]\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}[/math][b][sup] [/sup]dx = π/2 」[br][/b]X=∫[sub]-r[/sub][sup]r[/sup][math]\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}[/math] dxのｒを∞にした極限値がX８になる。 [sup][br][/sup]C1：実軸上の-rからrまでの線分で、この積分値はXと等しい。[br]C2：複素平面で半径ｒの半円|z|=r で、虚部が正、左回りでの積分値をAとする。[br]C=C1+C2：周回積分の値をBとする。[sup][br][/sup][math]\int_c\frac{1}{\left(1+z^2\right)^2}dz=\int_{c1}\frac{1}{\left(1+z^2\right)^2}dz+\int_{c2}\frac{1}{\left(1+z^2\right)^2}dz[/math][sup] [br][/sup]B=X+A[br]それぞれ、ｒを∞にした値をX８、A８、B８としよう[br]B8=X8+A8[br](１＋ｚ[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]=(z+i)[sup]2[/sup](z-i)[sup]2[/sup]だから、Cでの周回積分はf(z)=1/(１＋ｚ[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]のとき、g(z)=1/(z+i)[sup]2[/sup]とすると、[br]f(z)＝g(z)/(z-i)[sup]2[/sup]はz=iが特異点で、2次の極になる。留数はlim[sub]z→i[/sub]g'(z)=-2/(i+i)[sup]3[/sup]=-2/(-8i)=1/4i[br]B＝2πi[Res[f(i)]= 2πi/4i= π/2　だから、B8=π/2。[br]上と同じようにして、A8＝A→0 。[br]以上から、X8＝π/2-0=π/2

[b][size=150]＜実三角関数の積分＞[/size][/b][br][b][size=150]「X＝∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup]1/(5-3cosθ）dθ=π/2」[br][/size][/b]を求めるために関数とパラメータの置換をする。それから、留数を使おう。[br]円C：|z|=1 の周上の点ｚ＝e[sup]iθ[/sup]（０≦θ≦2π）について、[br]cosθ=1/2(z+1/z) dz=dz/dθ dθ＝i eiθ dθ＝i z dθだから、dθ＝1/iz dz [br]X=∫[sub]C [/sub]1/(5-3/2(z+1/z)) 1/iz dz = ∫[sub]C [/sub]2i/(10z-3(z[sup]2[/sup]+1)) (-1) dz[br] = ∫[sub]C [/sub]2i/(3z[sup]2 [/sup]-10z +3) dz=∫[sub]C [/sub]2i/(3z -1)(z -3) dz =∫[sub]C [/sub]2/3* i/[(z -1/3)(z -3)] dz [br]分母＝０となるz=3,z=1/3のうち 円Cの内部領域にあるのはz=1/3[br]z=1/3が特異点で、1次の極だ。[br]g(z)=2/3* i/(z -3)とおくと、X=∫[sub]C [/sub]g(z)/(z -1/3) dzだから、留数はg(1/3)=2/3* i/(1/3-3)=-i/4。[br]X=2πi*(-i/4)=π/2[br][color=#0000ff]（例）[/color][br][b][size=150]「Y＝∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup]1/(5+3cosθ）dθ=π/2」[br][/size][/b]関数とパラメータの置換をしてから、留数を使おう。[br]円C：|z|=1 の周上の点ｚ＝e[sup]iθ[/sup]（０≦θ≦2π）について、[br]cosθ=1/2(z+1/z) dz=dz/dθ dθ＝i eiθ dθ＝i z dθだから、dθ＝1/iz dz [br]X=∫[sub]C [/sub]1/(5+3/2(z+1/z)) 1/iz dz = ∫[sub]C [/sub]2/i(10z+3(z[sup]2[/sup]+1)) dz[br] = ∫[sub]C [/sub]2/i (3z[sup]2 [/sup]+10z +3) dz=∫[sub]C [/sub]2/i (3z +1)(z +3) dz =∫[sub]C [/sub]2/ i[3 (z +1/3)(z +3)] dz [br]分母＝０となるz=-3,z=-1/3のうち 円Cの内部領域にあるのはz=-1/3[br]z=-1/3が特異点で、1次の極だ。[br]g(z)=2/[i3(z +3)]とおくと、X=∫[sub]C [/sub]g(z)/(z +1/3) dzだから、留数はg(-1/3)=2/[i 3 (-1/3+3)]=1/4i 。[br]X=2πi*(1/4i)=π/2[br][color=#0000ff]（例）[/color][br][b][size=150]「Y＝∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup]1/(2+sinθ）dθ=2/√3 * π」[br][/size][/b]関数とパラメータの置換をしてから、留数を使おう。[br]円C：|z|=1 の周上の点ｚ＝e[sup]iθ[/sup]（０≦θ≦2π）について、[br]sinθ=1/2i(z-1/z) dz=dz/dθ dθ＝i eiθ dθ＝i z dθだから、dθ＝1/iz dz [br]X=∫[sub]C [/sub]1/(2+1/2i(z-1/z)) 1/iz dz [br]=∫[sub]C [/sub]2/(4iz+z(z-1/z))/iz dz [br]=∫[sub]C [/sub]2/(z[sup]2[/sup]+4iz-1) dz ( ( )=0の解z=-2i±√[(2i)[sup]2[/sup]+1]=-2i±√3i=(-2±√3) i = α、β　（α＜β）とする）[br]分母＝０となるz=α、βのうち 円Cの内部領域にあるのはz=β、z=βが特異点で、1次の極だ。[br]g(z)=2/(z-α)とおくと、X=∫[sub]C [/sub]g(z)/(z-β) dzだから、留数はg(β)=2/(β-α)=2/2√3i =1/√3i[br]X=2πi*(√3i)=2/√3π