Abstand von Geraden: Der Weg über die Projektion

Gegenseitige Lage von Geraden im Raum

Nennen Sie die Möglichkeiten für die gegenseitige Lage von Geraden im Anschauungsraum

Nennen Sie in der Reihenfolge der oben aufgeführten Fälle die Kriterien für die einzelnen Fälle gegenseitiger Lage von Geraden

Grundsätzliches zur Berechnung von Abständen

a) In welchem Winkel muß eine Verbindungslinie zwischen Geraden oder Ebenen zu diesen stehen, wenn ihre Länge gleich dem Abstand zwischen diesen Objekten sein soll?[br]b) Finden Sie eine Begründung für diese Bedingung.[br]c) Was gilt jeweils für den Winkel zwischen der kürzesten Verbindungslinie zwischen zwei Geraden und den beiden Geraden?[br]d) Überlegen Sie, wie die Richtung dieser Linie gefunden werden kann.

Abstände windschiefer Geraden

Betrachten Sie die beiden windschiefen Geraden im Applet. Drehen Sie die Darstellung, blenden Sie dann die Richtungsvektoren ein, die Sie mit Hilfe der Punkte verändern können. Blenden Sie kurz die parallele Gerade ein (danach wieder aus), um sich diesen Fall nochmals zu verdeutlichen. [br][br]Blenden Sie dann den Verbindungsvektor - praktischerweise als Differenz der beiden Stützvekoren - ein, damit ist eine Verbindungslinie gegeben.

Die Berechnung des Abstandes windschiefer Geraden

Damit haben wir alle Zutaten zusammen:[br][list=1][*]Durch Differenz der Stützvektoren Verbindungsvektor erzeugen.[/*][*]Kreuzprodukt der Richtungsvekoren ist paarweise senkrecht auf den Geraden. Diesen Vektor durch seinen Betrag dividieren, um ihn auf Länge 1 zu bringen.[/*][*]Produkt dieses senkrechten Vektors der Länge 1 mit dem Verbindungsvektor erzeugt die Projektien auf die paarweise senkrechte Komponente des Verbindungsvektors und damit den Abstand der beiden Geraden.[br][/*][/list]

In Gleichungen ausgedrückt: Abstandsberechnung

Gegeben sind die beiden Geraden g und h mit:[br][center][math]g:\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}[/math][br][math]h:\vec{x}=\vec{q}+s\cdot\vec{v}[/math][br][br][/center]wird nun der Verbindungsvektor [math]\vec{u}[/math] der beiden Stützvektoren mit [math]\vec{u}=\vec{p}-\vec{q}[/math] gebildet und mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren [math]\vec{n}=\vec{u}\otimes\vec{v}[/math] multipliziert und durch den Betrag des Kreuzproduktes dividiert, dann erhält man den Betrag des Abstandes:[br][center][img]data:image/png;base64,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[/img][/center][math][/math]