Die Laplace'sche Definition einer Wahrscheinlichkeit ist [math]P=\frac{\text{Anzahl günstiger Versuche}}{\text{Anzahl möglicher Versuche}}[/math].[br]Doch wie viel günstige oder wie viel mögliche Versuche gibt es? das ist oft gar nicht so einfach herauszubekommen. Dabei können die folgenden Formeln der Kombinatorik eine große Hilfe sein.[br][br]Es gibt zwei Zufallsexperimente, die in der Wahrscheinlichkeit besonders gerne für Erklärungen herangezogen werden, weil sie anschaulich leicht zu verstehen sind. Das [b]Würfeln[/b] und das [b]Ziehen von Kugeln aus einer Urne[/b]. Die Rechenregeln der Kombinatorik kann man sehr schön mit dem Urnenbeispiel veranschaulichen: [br][img]data:image/png;base64,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[/img]

In einer Urne liegen [math]n[/math] unterschiedliche Kugeln ([math]n[/math] ist dabei eine beliebige natürliche Zahl). Diese Kugeln werden nun alle nacheinanderaus der Urne geholt. Wie viel unterschieliche Möglichkeiten gibt es dabei?[br]Die Antwort ist: Es gibt [b][color=#980000]n-Fakultät[/color][/b] Möglichkeiten: [math]\boxed{\text{\Large{$n!$}}}[/math][br][math]n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1[/math] [br][br]Weil diese Rechnung so oft vorkommt, hat sie einen eigenen Namen (Fakultät) und ein eigenes Zeichen, das Ausrufezeichen. [br][br][b]Beispiel[/b]: Sie haben zuhause 8 Gäste eingeladen und überlegen sich, wie sie die Platzkarten hinlegen sollen. Wie viel verschiedene Möglichkeiten gibt es 8 Personen auf 8 Stühle zu verteilen (wobein immer nur eine Person auf einem Stuhl sitzen darf).[br]Es sind [math]8!=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 40\,320[/math] Möglichkeiten. (Hätten Sie das gedacht?)

In einer Urne sind [math]n[/math] verschiedene Kugeln. Es wird [math]k[/math]-mal eine Kugel gezogen [b]und wieder in die Urne zurückgelegt[/b]. Wie viel verschiedene Ergebnisse kann es dabei geben?[br][br]Da es bei jedem Mal Ziehen genau [math]n[/math] mögliche Ergebnisse gibt, ist die Antwort hier einfach: [br][math]\boxed\text{\Large{\[n^k\]}}[/math] [br][br][b]Beispiel[/b]: Diese Zählweise kann zum Beispiel bei der Generierung von Passwörtern angewerndet werden. Wenn für ein Passwort alle Buchstaben des Alphabets einschließlich der Umlaute ä,ö und ü verwendet werden dürfen, dann gibt es mit Groß- und Kleinschreibung 58 verschiedene Zeichen. Für ein Passwort mit 5 Buchstaben gibt es also [math]58^5=656\,356\,768[/math] verschiedene Möglichkeiten.[br][br]

Gegeben sind [math]n[/math] verschiedene Kugeln in einer Urne und es wird [math]k[/math] mal eine Kugel gezogen [b]ohne diese wieder zurückzulegen[/b]. Dann lautet die Anzahl der Möglichkeiten:[br][math]\boxed\text{\Large{\[\frac{n!}{(n-k)!}\]}}[/math][br][br][b]Beispiel[/b]: Stellen Sie sich vor, in einer Urne sind 26 Kugeln, von denen jede einem Buchstaben unseres Alphabets entspricht. Sie dürfen nun 5 Kugeln ziehen, ohne diese wieder zurückzulegen. Wie viel verschiedene Wörter bzw. Buchstabenfolgen können dabei entstehen?[br]Es sind [math]\frac{26!}{(26-5)!}=\frac{26!}{21!}=26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 21=7\,893\,600[/math] verschiedene Möglichkeiten

Es gibt [math]n[/math] Kugeln in einer Urne und es werden [math]k[/math] Kugeln gezogen, aber [b]nicht wieder zurückgelegt[/b]. Die Reihenfolge der Zahlen ist aber unwichtig. Für diesen Fall lautet die Antwort: Die Anzahl der Möglichkeiten ist "[i]n über k[/i]": [br][math]\boxed\text{\Large{\[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]}}[/math][br]Weil auch diese Rechnung so oft vorkommt, hat sie ein eigenes Symbol [math]\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}[/math] und einen eigenen Namen: [b][color=#980000]Binomialkoeffizient[/color][/b] oder einfach "[b][color=#980000]n über k[/color][/b]".[br][br][b]Beispiel[/b]: Das wohl bekannteste Beispiel hierfür ist das Lottospiel "6 aus 49". Von 49 Kugeln werden 6 gezogen. Die Reihenfolge, in der die 6 Zahlen gezogen werden, die ist für den Gewinn egal.

In einer Urne befinden sich [math]n[/math] verschiedene Kugeln und es darf [math]k[/math]-mal gezogen werden. Die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, ist aber egal. Hier darf das [math]k[/math] auch größer sein als das [math]n[/math], weil die Kugel nach jedem Ziehen wieder in die urne zurückgeworfen wird. Auch hier gibt es eine Rechenvorschrift: "n pus k minus 1 über k":[br][math]\boxed{\text{\Large{\[\begin{pmatrix}n+k-1\\k\end{pmatrix}\]}}}[/math][br][br]Also: [math]\begin{pmatrix}n+k-1\\k\end{pmatrix}=\frac{(n+k-1)!}{k!\cdot(n-1)!}[/math][br][br][b]Beispiel[/b]: Sie gehen in ein Eiscafé und möchten Einen Eis-Becher mit k=2 Kugeln haben. Es gibt n=10 verschiedene Eissorten. Wie viel Möglichkeiten gibt es dafür?[br][br][math]\begin{pmatrix}10+2-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\2\end{pmatrix}=55[/math]