A função f(x)=arc cos(x)

Definição

Considere um função [math]g[/math] restritra ao intervalo [math]\left[0,\pi\right][/math] e contradomínio [math]\left[-1,1\right][/math], isto é, [math]g:\left[0,\pi\right][/math] [math]\longrightarrow[/math][math]\left[-1,1\right][/math] tal que [math]g\left(x\right)=cos\left(x\right)[/math]. Nessas condições [math]g[/math] é:[br][list][*]sobrejetora, pois para todo [math]y\in\left[-1,1\right][/math] existe [math]x\in\left[0,\pi\right][/math] tal que [math]cos\left(x\right)=y[/math]. [/*][*]injetora, pois se [math]x_1\ne x_2\longrightarrow cos\left(x_1\right)\ne cos\left(x_2\right)[/math][/*][/list]Assim, a função [math]g[/math] admite inversa e [math]g^{-1}[/math]e chamado de arco-cosseno (arco cujo cosseno). [br][br] [math]\fbox{y=arc\ cos\left(x\right)\Longleftrightarrow cos\left(y\right)=x \ \text{e}\ 0\le y\le\pi}[/math]

Reflexão 1

Movimente o ponto [math]x[/math] e observe o gráfico da função arco cosseno. Qual o valor máximo que a função assume?

[math]\pi[/math] 1 [math]\frac{\pi}{2}[/math]

Reflexão 2

Movimente o ponto [math]x[/math] e observe o gráfico da função arco cosseno. Qual o valor mínimo que a função assume?

0 -1 [math]-\frac{\pi}{2}[/math] [math]-\pi[/math]

Reflexão 3

Qual o conjunto imagem da função [math]f\left(x\right)=arc\ cos\left(x\right)[/math]?

[math][-\pi,\pi][/math] [math][0,\pi][/math] [math]\mathbb{R}[/math]

Reflexão 4

Movimente o ponto [math]x[/math]. Qual o intervalo em que a função [math]f\left(x\right)=arc\ cos\left(x\right)[/math] é negativa?

[math]\mathbb{R}[/math] [math]\left(0, \frac{\pi}{2}\right][/math] (0, 1] [math]\left[-\frac{\pi}{2},0\right)[/math] Ela nunca é negativa.

Reflexão 5

Movimente o ponto [math]x[/math]. Qual o intervalo em que a função [math]f\left(x\right)=arc\ cos\left(x\right)[/math] é positiva?

[math]\mathbb{R}[/math] [math]\left(0, \frac{\pi}{2}\right][/math] [math]\left[-\frac{\pi}{2},0\right)[/math] (0, 1] Ela nunca é positiva.

Comparação dos gráficos

Reflexão 6

Marque as caixas "Esconder/Mostrar Gráfico [math]y=cos\left(x\right)[/math]" e "Esconder/Mostrar Bissetriz". Compare os gráficos. O que você observa?

Reflexão 7

Compare as coordenadas dos pontos P e P'. O que você observa?