[br][justify][/justify]Fenômenos Periódicos [br][justify][/justify][justify]Um fenômeno é dito periódico quando ele se repete, indefinidamente, após intervalos de tempo iguais.[br]Vários fenômenos físicos se enquadram nessa perspectiva como: o movimento das marés, os batimentos cardíacos, as fases da lua, a rotação do eixo de um motor, bem como os movimentos de rotação e translação que a Terra executa, além de muitos outros.[br][br]Tomemos como exemplo os movimentos de rotação e translação da Terra. O movimento contínuo de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo é realizado num período de 24 horas. Embora não sintamos o giro da Terra, esse movimento é importantíssimo, pois ele determina a sucessão dos dias e das noites.[br][br]No movimento de translação, que também é periódico, a Terra executa sua órbita aproximadamente circular, em torno do Sol durante aproximadamente 365 dias que correspondem a um ano, nesse período ocorre a mudança das estações climáticas em nosso planeta.[/justify][justify]Esses movimentos podem ser modelados matematicamente, e a trigonometria é uma ferramenta imprescindível para entendermos o comportamento desses fenômenos.[br][br][/justify]
[br][br][justify]A construção abaixo apresenta uma circunferência centrada na origem O do plano cartesiano, cujo raio é representado pelo segmento OC. Os eixos cartesianos dividem a circunferência em quatro partes denominadas quadrantes, os quais encontram-se numerados de I a IV. Nesta construção consideraremos apenas ângulos positivos e estabeleceremos o sentido anti-horário para medi-los.[br][br]Ao movimentar o ponto D horizontalmente, modifica-se o tamanho do raio da circunferência, e ao movimentarmos o ponto C[i],[/i] os valores do ângulo DOC, denominado aqui pela letra grega α, são alterados.[br][/justify][br]As questões de 01 a 04 são referentes à construção 01.[br] [br]
[justify]Como você classificaria o triângulo verde quanto a seus ângulos?[/justify]
[justify]Como triângulo retângulo.[/justify]
Quem assume o papel da hipotenusa do triângulo verde?
O raio da circunferência.
[justify][br]Posicione o ponto [i]C[/i] no primeiro quadrante, desloque o ponto [i]D [/i]e observe os valores das razões seno e cosseno.[br]Para qual medida do raio da circunferência, os valores das razões seno e cosseno correspondem as coordenadas do ponto [i]C[/i]?[br][br][b]Sugestão:[/b] Depois de encontrar o valor procurado para o raio, torne a movimentar o ponto C e certifique-se de que as coordenadas deste ponto ainda coincidem com os valores das razões trigonométricas.[/justify]
Quando a medida do raio da circunferência é igual a 1.
[br][justify]Movimente o ponto D para tornar o raio igual a 2 e calcule os valores do cosseno e do seno do ângulo α a partir das medidas dos lados do triângulo retângulo, mantenha o registro da razão entre esses lados. [/justify][br]Sem movimentar o ponto C, repita o procedimento para o raio igual a 1,5.[br][br]Observe seus registros e explique porque as coordenadas do ponto C coincidem com os valores do cosseno e do seno quando o raio é igual a 1?
[justify][br]Os numeradores das razões que fornecem o cosseno e o seno do ângulo α são, respectivamente, a abscissa e a ordenada do ponto C, e o raio da circunferência (hipotenusa do triângulo) é sempre o denominador, por isso, quando o raio é igual a 1, essas razões coincidem com as coordenadas do ponto C.[/justify]
[justify]Considere o círculo de raio unitário com centro na origem e responda: Como podem ser definidos o cosseno e o seno do ângulo α a partir das coordenadas do ponto C?[/justify]
O cosseno de α pode ser definido como a abscissa do ponto C, enquanto o seno de α pode ser definido como a ordenada deste mesmo ponto.
[justify][br]No capítulo sobre razões trigonométricas a definição de tangente foi dada pela razão entre o seno e o cosseno do ângulo α, porém, a exemplo do que fizemos com o cosseno e com o seno do ângulo α, vamos agora representar a tangente no ciclo trigonométrico.[br][br][br][/justify]
[br][justify]Na construção 2 o ponto P é obtido como interseção entre a reta t, que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto D, e a semirreta OC, de modo que sua ordenada corresponde ao comprimento do segmento PD.[br][/justify]
[justify]Na Construção 2, como você classificaria o triângulo rosa quanto a seus ângulos?[/justify]
[justify]Como triângulo retângulo.[/justify]
Qual o valor do cateto adjacente ao ângulo α no triângulo rosa?
Uma unidade de comprimento.
[justify]Com base nas respostas que você deu para as questões 6 e 7 e na definição da tangente de um ângulo em triângulo retângulo (razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente), forneça a relação entre a ordenada do ponto P e o valor da tangente do ângulo α.[br]Movimente o ponto C para verificar se a relação percebida por você realmente se sustenta.[/justify]
A tangente de α equivale ao valor da ordenada do ponto P.
Na construção 02 desloque o ponto C pelo 1º quadrante e observe o comportamento do segmento DP.[br](a) Qual o valor da tangente quando o ângulo α equivale a 0°?[br](b) Quando o ângulo α se aproxima de 90° o que acontece com o valor do comprimento do segmento DP?[br](c) O que podemos afirmar sobre a tangente do ângulo α quando este mede 90°?
[br](a) Neste caso, a tangente assume o valor zero.[br](b) O comprimento do segmento DP assume valores cada vez maiores, ou seja, tende ao infinito.[br](c) Neste caso, a semirreta OC torna-se paralela a reta tangente, de modo que o ponto P não está definido e, portanto, da mesma forma, fica indefinida a tangente do ângulo α quando este mede 90°.
[justify][br]Passamos a definir o [b]ciclo trigonométrico[/b] como a circunferência centrada na origem do plano cartesiano, de raio igual a 1, utilizada para definir os valores das razões trigonométricas de um ângulo qualquer. Nele ângulos tomados no sentido anti-horário possuem medida positiva e aqueles tomados no sentido horário possuem medida negativa.[/justify]
[justify]Vimos, nas representações acima, que as relações trigonométricas antes estabelecidas no triângulo retângulo, também podem ser obtidas através de uma outra formalização construída a partir do ciclo trigonométrico. Na próxima atividade, vamos nos aprofundar sobre o significado das razões trigonométricas para ângulos maiores que 90°.[/justify]