평면 곡선의 미분 가능성은 곡선의 매개화에 의해 결정된다. 두 평면 곡선[br][center][math]F(t)=(t,\ |t|),\quad G(t)=(t|t|,\ t^2)[/math][/center][br]을 살펴보자.
평면 곡선 [math]F(t)[/math]가 [math]t=0[/math]에서 미분 불가능한 곡선임을 보이시오. 또 평면 곡선 [math]G(t)[/math]가 미분 가능한 곡선임을 보이시오.
두 평면 곡선 [math]F,\ G[/math]는 같은 모양의 곡선을 나타내지만 각각의 미분 가능성은 다르다. 평면 곡선 [math]F[/math]는 모든 구간에서 일정한 속력을 가지지만 [math]t=0[/math]에서 진행 방향이 바뀌므로 속도가 정의되지 않아 미분 불가능하다. 평면 곡선 [math]G[/math]는 [math]t=0[/math]에서 속도가 [math]0[/math]이 되므로 모든 [math]t[/math]에서 미분 가능하다. [br] 이처럼 속도가 [math]0[/math]인 지점이 존재하는 평면 곡선은 미분 가능하더라도 뾰족한 점을 가질 수 있다. 다음은 뾰족한 점을 가지는 미분 가능한 곡선 [math]F(t)=(t^2, t^3)[/math]의 그래프다.
곡선의 속도가 [math]0[/math]이 되는 지점에서는 곡선 진행 방향의 급격한 변화를 제어하기 어렵다. 따라서 부드럽게 진행하는 곡선을 다룰 수 있도록 속도가 [math]0[/math]이 되는 지점이 존재하지 않는 곡선만을 분석의 대상으로 한다.
미분가능한 곡선 [math]F(t)=(x(t),\ y(t))[/math]에 대하여 [math]F'(t)[/math]가 연속이고 모든 실수 [math]t[/math]에 대하여 [math]F'(t)\ne0[/math]일 때, 곡선 [math]F[/math]를 [b]정칙 곡선[/b](regular curve)이라고 한다.
평면 곡선 [math]F(t)=(t,\ \sin t)[/math]가 정칙 곡선임을 보이시오.