[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/hwuz6sj8][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][size=85][i][color=#ff00ff][right]translation is in progress[/right][/color][/i][/size]

[size=85]Die [b][i][color=#ff00ff]Konstruktion[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] mit Hilfe der [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b] zeigt, dass diese [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] auf verschiedene Weisen[br]als [b][i][color=#274e13]Hüllkurven[/color][/i][/b] ([b][i][color=#274e13]Envelope[/color][/i][/b]) von [b][i][color=#ff0000]Kreis-Scharen[/color][/i][/b] entstehen können.[br]In der Dissertation [math]\hookrightarrow[/math] "[i][u][url=https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwi2jPqb5sX_AhVJnKQKHZsXCaIQFnoECA4QAQ&url=https%3A%2F%2Fd-nb.info%2F1024608662%2F34&usg=AOvVaw16SsPvowp83wu-jZ7keQAu]Rational families of circles and bicircular quartics[/url][/u][/i]" von [b]Thomas Rainer Werner[/b] ([b]Erlangen 2011[/b]) [br]stellt [b]Werner[/b] eine weitere Darstellung der [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] als [b][i][color=#274e13]Envelope[/color][/i][/b] von [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] vor:[br]Wir zitieren (mit den im hier vorliegenden [b][i][color=#980000]geogebra-book[/color][/i][/b] verwendeten Bezeichnungen): [br][b]Theorem 8.14 (Envelope of a rational family of circles) [/b]([i]Seite 91 ff[/i])[br][table][tr][td][math]\mbox{ }[/math][/td][td]The familiy of [b][i][color=#ff0000]circles[/color][/i][/b][br] [math]\mbox{ }c=\lambda^2\cdot c_1+2\cdot k\cdot\lambda\cdot\mu\cdot c_0+\mu^2\cdot c_2[/math] [br]has the [b][i][color=#ff7700]bicircular quartic[/color][/i][/b] [math]B[/math] with the equation [br][math]\mbox{ }B:\;c_1\cdot c_2-k^2\cdot c_0=0[/math][br]as [b][i][color=#274e13]envelope[/color][/i][/b].[/td][/tr][/table][b]Werner[/b] nennt diese Darstellung von [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] "[i]Three circles form[/i]". Jede [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] läßt sich auf [br]diese Weise darstellen und wird wie angegeben als [b][i][color=#274e13]Envelope [/color][/i][/b]von [b][i][color=#274e13]Kreisen[/color][/i][/b] erzeugt.[br][br]Im Applet oben verwenden wir dies konkret für [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] in [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b]. Alle möglichen Typen [br]bis auf die [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformierten[/color][/i][/b] von [b][i][color=#ff7700]Parabeln[/color][/i][/b] werden mit einheitlichen Gleichungen erfasst.[br]Eine wesentliche Rolle spielen dabei die Lage der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] und die möglichen [b][i][color=#bf9000]Symmetrien[/color][/i][/b].[br]In der Dissertation von [b]Werner[/b] werden [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] nur an einer Stelle bei der Aufzählung der klassischen Beispiele [br]von [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] erwähnt: [b]CASSINI[/b]-Kurven werden mittels [b][color=#cc0000]2[/color][/b] ihrer [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] definiert:[br]als Ort aller Punkte [math]P[/math], welche von [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [math]F_1,F_2[/math] das konstante Abstandsprodukt[br] [math]d\left(P,F_1\right)\cdot d\left(P,F_2\right)=b^2=const[/math] besitzen (Diss. [i]Seite 123[/i]).[br][br][b][i][u][color=#cc0000]Die Gleichungen:[/color][/u][/i][/b][br]Wir verwenden die [i]reellwertige Funktion[/i] [math]\kappa_{\delta} \left(u\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(u^2+\frac{\delta}{u^2}\right)[/math] mit [math]\delta\in\left\{-1,0,1\right\}[/math].[br]In [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b] lauten damit die Gleichungen der [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b]:[br][/size][list][*][b][i][/i][/b][i][size=85][color=#ff7700]bizQuAB[/color][/size][/i][b][i][size=85]: [math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+\delta=0[/math] [/size][/i][/b][size=85]mit[/size][b][i] [math]A_x=\frac{1}{2}\left(s^2+\frac{\delta}{s^2}\right)=\kappa_{\delta}\left(s\right)[/math] [/i][/b][size=85]und [/size][math]B_y=\frac{\kappa_{\delta}\left(f\right)\cdot\kappa_{\delta}\left(s\right)-\delta}{\kappa_{\delta}\left(f\right)-\kappa_{\delta}\left(s\right)}[/math][br][/*][/list][size=85][i][u]Vorgegeben sind:[/u][/i] Ein [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [math]f[/math] und ein [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] [math]s[/math] auf der [math]x[/math]-Achse.[br]Die [b][i][color=#00ff00]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] ist dann[br][/size][list][*][size=85][b][i]2-teilig[/i][/b][/size]: [math]\delta=1[/math] [size=85]mit den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [math]f,-f,\frac{1}{f},\frac{-1}{f}[/math] und den [b][i][color=#ff7700]Scheiteln[/color][/i][/b] [math]s,-s,\frac{1}{s},\frac{-1}{s}[/math] auf der [math]x[/math]-Achse. [/size][/*][size=85][/size][*][size=85][b][i]1-teilig[/i][/b]: [math]\delta=-1[/math] mit den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [math]f,-f,\frac{i}{f},\frac{-i}{f}[/math], [b][color=#cc0000]2[/color][/b] der [b][i][color=#ff7700]Scheitel:[/color][/i][/b] [math]s,-s[/math] liegen auf der [math]x[/math]-Achse.[/size][/*][*][size=85]ein[b][i][color=#0000ff] Möbiustransformierter[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Mittelpunktskegelschnitt[/color][/i][/b] [math]\delta=0[/math] mit den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [math]f,-f[/math] und [math]0[/math] als [br]doppelt-zählendem [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]. [br]Gespiegelt zB. am [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] ergibt sich eine [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b] oder eine [b][i][color=#ff7700]Hyperbel[/color][/i][/b]. [/size][br][/*][/list][size=85]Für jeden dieser [b][color=#cc0000]3[/color][/b] Fälle ist die Konstruktion mittels eines [b][i][color=#0000ff]Leitkreises[/color][/i][/b] angezeigt. [br]Die [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] sind [math]y[/math]-Achsen-symmetrisch.[br]Diese [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] [b][i][color=#274e13]hüllen[/color][/i][/b] die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] [b][i][color=#274e13]ein[/color][/i][/b].[/size]

[size=85][b][i][color=#cc0000]Zur 3-[/color][color=#ff0000]Kreise[/color][color=#cc0000] Form und den einhüllenden [/color][color=#ff0000]Kreisen[/color][color=#cc0000] nach [/color][/i]Werner[i][color=#cc0000]:[/color][/i][br][/b]Wir definieren [math]c_1=c_{_s}=x^2+y^2-s^2=0[/math], [math]c_2=c'_s=x^2+y^2-\frac{\delta}{s^2}=0[/math] und [math]c_0=y=0[/math], sowie die Schar der [b][i][color=#274e13]einhüllenden[/color][/i][/b][br][b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] [math]c_{\lambda\mu}=\lambda^2\cdot c_s+2\cdot\sqrt{\left|\kappa\right|}\cdot\lambda\cdot\mu\cdot c_0+sgn\left(\kappa\right)\cdot\mu^2\cdot c'_s=0[/math]. [br]Für [math]\kappa=B_y-A_x[/math] stimmt die [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] [math]c_s\cdot c'_s-\kappa\cdot c_0^2=0[/math] mit der oben angegebenen [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] [i][color=#ff7700]bizQuAB[/color][/i] überein.[br]Um die [b][i][color=#38761d]einhüllenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] angezeigt zu bekommen, verändere man [math]\lambda[/math] und/oder [math]\mu[/math]. [br][math]\lambda=0[/math] bzw. [math]\mu=0[/math] liefert die [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreise[/color][/i][/b] [math]c_s[/math], [math]c'_s[/math]. Für [math]\delta=-1[/math] ist [math]c'_s[/math] nicht reell, für [math]\delta=0[/math] liegt der [b][i][color=#ff0000]Punktkreis[/color][/i][/b] in [math]0[/math] vor.[br][br]Für variables [math]\kappa[/math] ergeben sich [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] mit [math]s[/math] und [math]-s[/math] als [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b]:[br][math]bizQu_{\kappa}[/math]: [math]c_s\cdot c'_s-\kappa\cdot c_0^2=0[/math] bzw. [math]bizQuAB'[/math]: [math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y'\cdot y^2+\delta=0[/math] mit [math]B_y'=A_x+\kappa[/math].[br]Die Gleichung [math]c_{\lambda\mu}=0[/math] für die [/size][size=85][b][i][color=#38761d]einhüllenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] ist oben angegeben.[br]Die zugehörigen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [math]ff,ff',ff'',ff'''[/math] wurden berechnet mit [math]Q=\frac{A_x\cdot B_y'-\delta}{B_y'-A_x}[/math]:[br][/size][list][*][math]ff=\pm\sqrt{0\cdot i+Q\pm\sqrt{Q^2-\delta+0\cdot i}}[/math][/*][/list][size=85]Der "Trick" [math]+0\cdot i[/math] veranlaßt [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b], die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] komplex zu berechnen: sie werden damit auch auf der [math]y[/math]-Achse [br]bzw. auf dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] angezeigt, sofern sie dort liegen.[br][br]Oben werden sämtliche [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] in [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b] erfasst, ausgenommen [br]die [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformierten[/color][/i][/b] von [b][i][color=#ff7700]Parabeln[/color][/i][/b] (ein dreifacher [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]!), und die [b][i]Produkte[/i][/b] aus [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b].[br][br][b][i][u][color=#cc0000]Nachbemerkung[/color][/u][/i][/b]: die [b][color=#cc0000]3[/color][/b]-[b][i][color=#ff0000]Kreise-[/color][/i][/b][b][i]Form[/i][/b] eine [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b] und die dazugehörige Schar von [b][i][color=#274e13]einhüllenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] [br]läßt sich auch für andere [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreise[/color][/i][/b] und [b][i][color=#bf9000]Symmetrie[/color][/i][/b]-[b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] aufstellen, sofern sie existieren: [br]beispielsweise wähle man für [b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teilige [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] den [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] als [math]c_0[/math] und die zum [/size][size=85][b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b][/size][size=85] [br]symmetrischen [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreise[/color][/i][/b] als [math]c_1,c_2[/math].[/size]