Eine [i]Variation der 1. Papierstreifenmethode[/i]geht von der Beobachtung aus, dass der Mittelpunkt [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3[/img] des Papierstreifens sich auf dem Kreis mit Mittelpunkt [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd[/img] und Radius [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc7810f36b1298823a923ee35d6cd0abe79d122[/img]bewegt. Man kann also den Papierstreifen in der Mitte (Punkt [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3[/img]) trennen und an dieser Stelle ein Gelenk einfügen und den zuvor auf der [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d[/img]-Achse gleitenden Punkt in den Mittelpunkt der Ellipse verlegen. Nach dieser Operation bleibt das abgeknickte Ende des Papierstreifens fest (im Punkt [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd[/img]) und der unveränderte Teil des Streifens samt dem Punkt [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a[/img] bewegt sich wie zuvor. Der Vorteil dieser Variation ist: Man benötigt nur [i]einen[/i] technisch anspruchsvollen Gleitschuh. Auch gegenüber der cardanischen Realisierung der 1. Papierstreifenmethode ist diese Variation technisch einfacher.[br]Man beachte, dass immer dasjenige Ende des Streifens, das auf der [i]Nebenachse[/i] gleitet, in den Mittelpunkt verlegt wird!

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Steiner_(Geometrie)]Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts[/url] (nach dem Schweizer Mathematiker [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Jakob_Steiner]Jakob Steiner[/url]):[br]Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0dead47f7ca48e0977dd358dca7a639dba0390c[/img] (alle Geraden durch den Punkt [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9[/img] bzw. [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f[/img]) eine [i]projektive,[/i] aber nicht perspektive Abbildung [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a[/img] des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6aa55c90da259c96a7894fe6e7555d2428cdec3[/img] gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0dead47f7ca48e0977dd358dca7a639dba0390c[/img] aus. Sei nun [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a4665836d2cc95b60f23b16bc87736034e12e2[/img] der obere Nebenscheitel der Ellipse und [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54576294362a34a4ba755dabf6dd83aad9bb1e4[/img]. Dann ist [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a[/img] der Mittelpunkt des Rechtecks [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c4613736a37f3786f4e6d52347f59954e63051[/img]. Wir unterteilen die Rechteckseite [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110[/img] in [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b[/img] gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3540fa6f8918f2fff4651cae78c3d3288c597ed1[/img] auf die Strecke [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fd2106fd9f055309c7e116bbdc53a4be34da99[/img] (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9[/img] und [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f[/img]. Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51997f1ce1c990b1b653809474cbdcfabaf0f77f[/img] und [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0723b61149039ccdd546ab4184cadbef706cd50f[/img] liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7b05d5f5948e67bd86ba8bb00e217f9875b3b9[/img] lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.[br][i]Bemerkung:[/i][br]a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a[/img] einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name [i]Parallelogramm-Methode.[/i][br]b) Den [i]Beweis[/i] dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)[br]Auch für [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)#Steiner-Erzeugung_einer_Parabel]Parabel[/url] und [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#Steiner-Erzeugung_einer_Hyperbel]Hyperbel[/url] gibt es Steiner-Erzeugungen.

Der Krümmungsradius für die Hauptscheitel [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0dead47f7ca48e0977dd358dca7a639dba0390c[/img] ist [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cd26d6275947639b9652bd79ae034db300e2b1[/img]der Krümmungsradius für die Nebenscheitel [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63390d9cf6fc56be595553c2b4abcf9879d15a93[/img] ist [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce93e1ff96829fd6766eec935cd386eb1be2d6e9[/img]Die Zeichnung zeigt eine einfache Methode, die Krümmungsmittelpunkte {[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4609596e1cd614e39d12721b3ac71ae9039bcf65[/img] des Scheitels [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9[/img]und des Nebenscheitels [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e15f3e200aaa247f69c43110cc5a09ecc91b89[/img] zeichnerisch zu bestimmen:[br][list=1][*]Markiere den Hilfspunkt [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0f0db9858b57cc26af6f096a68909c1791bc75[/img] und zeichne die Gerade [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b87f021be2c1bbe0cdf2957f708b55401d42f9[/img].[/*][*]Zeichne die Gerade durch [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b[/img], die senkrecht zur Geraden [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b87f021be2c1bbe0cdf2957f708b55401d42f9[/img] verläuft.[/*][*]Die Schnittpunkte [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771792fe5ccd4131d9eaa49a5fbecec2b230ac7d[/img] dieser Geraden mit den Ellipsenachsen sind die gesuchten Krümmungsmittelpunkte (Beweis: einfache Rechnung).[/*][/list]Die Krümmungsmittelpunkte der restlichen Scheitel ergeben sich aus Symmetrie. Man zeichnet die beiden restlichen Scheitelkrümmungskreise. Mit Hilfe eines [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenlineal]Kurvenlineals[/url] lässt sich dann eine gute Näherung der Ellipse zeichnen.