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Sie haben bereits mehrere Schreibweisen für lineare Gleichungssysteme kennengelernt.[br]Ausgangspunkt war die Gleichung der Linearkombination aus drei Vektoren im [br]Arbeitsblatt [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/umpyyx2n][color=#095EBC]M3.I.3c AB Linearkombinationen von Vektoren[/color][/url] in Kapitel I.[br]Gesucht waren die Faktoren [math]x,y,z[/math], so dass gilt:[br][math]x\cdot\vec{r}+y\cdot\vec{g}+z\cdot\vec{b}=\vec{f}[/math] [br]und konkret im Beispiel[br][math]x\cdot\left(\begin{matrix}1\\8\\4\end{matrix}\right)+y\cdot\left(\begin{matrix}3\\4\\6\end{matrix}\right)+z\cdot\left(\begin{matrix}2\\5\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\24\\18\end{matrix}\right)[/math].[br]Sie haben im Arbeitsblatt [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/umpyyx2n][color=#095EBC]M3.II.4a AB LGS mit Gauß-Verfahren[/color][/url] in diesem Kapitel mit der [b]erweiterten Koeffizientenmatrix[/b] auch eine kürzere Schreibweise kennengelernt:[br][math]\begin{pmatrix}1 & 3 &2&12\\8&4&5&24\\4&6&1&18\end{pmatrix}[/math].[br][br]Eine weitere Schreibweise wird im nachfolgenden Applet genutzt.
Untersuchen Sie die neue Schreibweise anhand der nachfolgenden Lösung des Beispiels aus Kapitel I mit dem CAS-Rechner der GeoGebra Rechner Suite.[br]Identifizieren Sie in den Eingaben die Komponenten der Vektoren und stellen Sie jeweils eine passende Gleichung in der neuen Schreibweise[br]a) allgemein mit den Bezeichnern [math]M[/math], [math]\vec{f}[/math] und [math]\vec{l}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)[/math] und[br]b) mit den konkreten Zahlenwerten des Beispiels auf.
Die neue Schreibweise fasst die Faktoren als gesuchten Vektor [math]\vec{l}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}[/math] auf und notiert dann die Linearkombination als Gleichung mit Matrix [math]M[/math] und Vektoren:[br][math]M \cdot \vec{l}=\vec{f}[/math][br]und konkret im Beispiel[br][math]\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\8 & 4 & 5\\4 & 6 &1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\24\\18\end{pmatrix}[/math].
[table][br][tr][td]0.[/td][td]Ausgangspunkt ist die Gleichung der Linearkombination [math]x\cdot\vec{r}+y\cdot\vec{g}+z\cdot\vec{b}=\vec{f}[/math], [br]im Beispiel [math]x\cdot \begin{pmatrix}1\\8\\4\end{pmatrix}+y\cdot \begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}+z\cdot \begin{pmatrix}2\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\24\\18\end{pmatrix}[/math].[/td][/tr][br][tr][td]1.[/td][td]Diese Gleichung lässt sich mit den Rechenregeln für Vektoren vereinfachen zu [math]\begin{pmatrix}x+3y+2z\\8x+4y+5z\\4x+6y+z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\24\\18\end{pmatrix}[/math], wie in [url=https://www.geogebra.org/material/edit/id/evbnn6uv][color=#095EBC]M3.II.4 AB Linearkombinationen von Vektoren als LGS[/color][/url] gezeigt.[/td][/tr][br][tr][td]2.[/td][td]Stellt man wie in Aufgabe 1 die Matrix-Vektor-Gleichung [math]M \cdot \vec{l}=\vec{f}[/math] auf, so ergibt sich [math]\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\8 & 4 & 5\\4 & 6 &1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\24\\18\end{matrix}\right)[/math].[/td][/tr][br][tr][td]3.[/td][td]Vergleicht man jeweils die linke Seite der Gleichungen in 2. und 3. ergibt sich: [math]\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\8 & 4 & 5\\4 & 6 &1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\begin{pmatrix}x+3y+2z\\8x+4y+5z\\4x+6y+z\end{pmatrix}[/math][/td][/tr][br][tr][td]4.[/td][td]Daraus kann man nun eine Rechenregel zur Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor [math]M \cdot \vec{l}[/math] formulieren.[/td][/tr][/table]
Stellen Sie für das folgende Gleichungssystem die Matrix-Vektor-Gleichung auf:[br][math]x+3y+z=2[/math] [br][math]-2x-4y+2z=6[/math][br][math]3x+y+z=8[/math][br]Lösen Sie anschließend die Matrix-Vektor-Gleichung in GeoGebra.
[math]\begin{pmatrix}1 & 3 & 1\\-2 & -4 & 2\\3 & 1 &1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\8\end{pmatrix}[/math][br][br][math]x\cdot \left(1,2,-1\right)+y\cdot \left(2,-3,1\right)+z\cdot \left(3,5,-1 \right)=\left(60,68,-13\right)[/math] mit [math]x=\frac{27}{11}[/math], [math]y=\frac{57}{11}[/math] und [math]z=\frac{173}{11}[/math].
[table][tr][td]1.[/td][td]Eine Matrix wird mit geschweiften Klammern zeilenweise in GeoGebra eingegeben. [br]Hier die Eingabe für die Matrix aus Aufgabe 1: [code]M={{1,3,2},{8,4,5}{4,6,1}}[/code].[/td][/tr][br][tr][td][/td][td]Alternativ können Sie die in GeoGebra eingeblendete Tastatur zur Eingabe benutzen:[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/MatrixGGB.png[/img][/td][/tr][br][tr][td]2.[/td][td]Geben Sie den Vektor auf der rechten Seite der Matrix-Vektor-Gleichung ein. [br]Im Beispiel aus Aufgabe 1 [math]\vec{f}=\begin{pmatrix}12\\24\\18\end{pmatrix}[/math] lautet die Eingabe: [code]f=(12,24,18)[/code][/td][/tr][br][tr][td]3.[/td][td]Der Vektor der gesuchten Faktoren [math]\vec{l}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}[/math] muss ebenfalls in GeoGebra eingegeben werden: [code]l=(x,y,z)[/code][/td][/tr][br][tr][td]4.[/td][td]Benutzen Sie den Befehl [code]Löse[/code] und geben Sie in den Klammern zuerst die Matrix-Vektor-Gleichung an [math]M \cdot \vec{l}=\vec{f}[/math] und getrennt durch ein Komma geben Sie dann an, wonach die Gleichung aufgelöst werden soll, also den Vektor der gesuchten Faktoren [math]\vec{l}[/math]: [code]Löse(M*l=f,l)[/code][/td][/tr][/table][br][b]Anmerkung:[/b] Die Lösung des Gleichungssystems wird als Liste mit den entsprechenden Werten für die Variablen [i]x[/i], [i]y [/i]und [i]z [/i]angezeigt.[br]Sie können den Umschaltbutton [img]https://mategnu.de/bilder/ggb/umschalt_dez.jpg[/img] für numerische Ausgabe auswählen, um die Lösungen als gerundete Dezimalzahlen anzuzeigen. Wählen Sie den entsprechenden Umschaltbutton [img]https://mategnu.de/bilder/ggb/umschalt_num.jpg[/img], um wieder die symbolische Ausgabe zu erhalten.