Analysis FOS 11_12_13

Franz Arbeitsaufträge Corona, Jan 16, 2018

Analysis FOS 13 Gebrochen-Rational-Exponentialfunktionen

Table of Contents

  1. Grundlagen FOS 11 / BOS 12
    1. Parabeln zeichnen - FRG September 2022
    2. Parabel - Funktionsgleichung Zuordnen
    3. Geraden im Koordinatensystem: Besondere Lagebeziehungen
    4. Graphing Quadratic Functions
  2. Binomialverteilung
    1. Binomialverteilung und Normalverteilung
    2. Wh: Bernoulliformel berechnen üben
    3. Baumdiagramm - Vierfeldertafel - Bedingte Wahrscheinlichkeit
  3. Optimierungsaufgaben
    1. Optimierungsaufgabe Halbkugel mit Zylinder
    2. Optimierungsaufgabe - Mühle - Blatt 8 / Nr. 8
    3. Herleitung der Volumenformel für eine Kugel
    4. Kaffeeterrasse mit veränderbarer Größe
    5. Kegel mit eingeschriebenem Prisma
    6. Fläche zwischen zwei Kurven 3 SA Mathematik
    7. 3 Schulaufgabe Mathematik 2013
  4. Kurvendiskussionen Polynomfunktionen
    1. Monotonie sichtbar farbig - Update 2022
    2. Monotonie - Extrema - Krümmung und Wendepunkte bestimmen können wir auch!
    3. Monotonie Farbig 2 Grafik Fenster
    4. 1. und 2. Ableitung grafisch animieren (Wachstum=grün, Blätter fallen = Braun)
    5. Info Monotonie - Krümmung FRG April 2020
    6. Kurvendiskussion Blatt 6 / Nummer 1
    7. Ableitungsfunktion skizzieren
    8. Zoom einer Tangente
    9. Arbeitsblatt - Monotonieverhalten interaktiv
    10. Ganzrationale Funktionen Skizzieren!
    11. Grafisches Differenzieren von Funktionen
    12. Differentialrechnung - Wendepunkte - Sachsenringkurve
  5. Exponetialfunktionen
    1. Beispiel für exponentielle Abnahme: Der radioaktive Zerfall
  6. Gebrochen rationale Funktionen / Logarithmus
    1. Rechnen mit Logarithmen
    2. Monotonie farbig / Eingabefenster
    3. Exponential-, Potenz- und Logarithmusfunktion
    4. Ungleichungen
    5. Term gebrochen-rationaler Funktion aus Graph aufstellen
    6. Fischpopulation bei konstanter Fangquote
    7. Satz von Maximum und Minimum - Beispiel
    8. Kehrwertfunktion durch Verkettung
    9. Kopie von Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen
    10. Exponential - Funktionen
  7. Geometrie - Geraden und Ebenen in R3
    1. Schnitt von 3 Ebenen
    2. Kreuzprodukt von zwei Vektoren
    3. Parametergleichung einer Ebene
    4. Die Parametergleichung der Geraden
    5. Lagebeziehungen von Geraden in R³
    6. Kreuzende Geraden (3D)
    7. Lagebeziehung zweier Ebenen
    8. Gradientenfeld einer Funktion in 2 Variablen
    9. Partial Derivatives: Graphical Illustrator
    10. Gegenseitige Lage von Ebenen
    11. Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene
    12. Schnittwinkel im Raum
    13. Abstandsbestimmungen
    14. Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
    15. Vektor als Linearkombination von 3 Vektoren darstellen (3D)
    16. Windschief, parallel, schneidend - Geraden - Lagebeziehung
    17. Gerade in Parameterform
    18. Ebene in Parameterform
    19. Geraden im Raum
    20. Übung: Umrechner - Normal -und Parameterform
    21. Lagebeziehung zweier Geraden im dreidimensionalen Raum
    22. Übung: Linearkombinationen erzeugen
    23. Gemeinsame Punkte einer Schar
  8. sfs
    1. Lokale Extrema
    2. Fischpopulation bei relativer Fangquote
    3. Trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktionen

1.

Grundlagen FOS 11 / BOS 12

  • 1. Parabeln zeichnen - FRG September 2022
  • 2. Parabel - Funktionsgleichung Zuordnen
  • 3. Geraden im Koordinatensystem: Besondere Lagebeziehungen
  • 4. Graphing Quadratic Functions

1.1.

Parabeln zeichnen - FRG September 2022

Scheitelpunkt und weiterer Graphenpunkt können verschoben werden.
Verschieben Sie die Roten Punkte. [br]Überprüfen Sie ihr Ergebnis. [br]Falls Sie schwierigere Aufgaben wollen, können Sie [br]nach einem Download die Einstellungen im Algebra - Fenster anpasen.[br][br]Scheitelform einer Parabel gegeben / Zwei Schwierigkeitsgrade / Scheitelpunkt und weiterer Graphenpunkt können verschoben werden. Parabeln mithilfe von 2 Punkten zeichnen - Link unten![br]
– Franz Arbeitsaufträge Corona

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

Binomialverteilung

  • 1. Binomialverteilung und Normalverteilung
  • 2. Wh: Bernoulliformel berechnen üben
  • 3. Baumdiagramm - Vierfeldertafel - Bedingte Wahrscheinlichkeit

2.1.

Binomialverteilung und Normalverteilung

Die Binomialverteilung und ihre Näherung durch die Normalverteilung
Binomialverteilung und Normalverteilung
– Ernst Deisinger

2.2.

–

2.3.

–

3.

Optimierungsaufgaben

  • 1. Optimierungsaufgabe Halbkugel mit Zylinder
  • 2. Optimierungsaufgabe - Mühle - Blatt 8 / Nr. 8
  • 3. Herleitung der Volumenformel für eine Kugel
  • 4. Kaffeeterrasse mit veränderbarer Größe
  • 5. Kegel mit eingeschriebenem Prisma
  • 6. Fläche zwischen zwei Kurven 3 SA Mathematik
  • 7. 3 Schulaufgabe Mathematik 2013

3.1.

Optimierungsaufgabe Halbkugel mit Zylinder

Einer Halbkugel mit Radius R = 5 LE (LE=Längeneinheiten) soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen V ( r , h ) einbeschrieben werden. Hierfür sind der Zylinderradius r sowie dessen Höhe h zu bestimmen (siehe Skizze). 3.1 Ermitteln Sie das Volumen V(h
Einer Halbkugel mit Radius R = 5 LE (LE=Längeneinheiten) soll ein Zylinder [br]mit möglichst großem Volumen V ( r , h ) einbeschrieben werden. [br][br]Hierfür sind der Zylinderradius r sowie dessen Höhe h zu bestimmen (siehe Skizze). [br][br]3.1 Ermitteln Sie das Volumen V(h,r) des einbeschriebenen Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe an.[br][br]3.2 Geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für h an.[br][br]3.3 Berechnen Sie die Höhe h sowie den Radius r des gesuchten Zylinders.[br][br]3.4 Wie groß ist das maximale Volumen? V_max = [br][br]Vergessen Sie nicht einen Nachweis für Maximum durchzuführen
Rutzinger@web.de
3.1 Ermitteln Sie das Volumen V(h,r) des einbeschriebenen Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe h und r an.
3.2 Geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für h an.
3.3 Berechnen Sie die Höhe h sowie den Radius r des gesuchten Zylinders.
3.4 Wie groß ist das maximale Volumen? V_max = Vergessen Sie nicht einen Nachweis für Maximum durchzuführen
– Franz Arbeitsaufträge Corona

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

4.

Kurvendiskussionen Polynomfunktionen

  • 1. Monotonie sichtbar farbig - Update 2022
  • 2. Monotonie - Extrema - Krümmung und Wendepunkte bestimmen können wir auch!
  • 3. Monotonie Farbig 2 Grafik Fenster
  • 4. 1. und 2. Ableitung grafisch animieren (Wachstum=grün, Blätter fallen = Braun)
  • 5. Info Monotonie - Krümmung FRG April 2020
  • 6. Kurvendiskussion Blatt 6 / Nummer 1
  • 7. Ableitungsfunktion skizzieren
  • 8. Zoom einer Tangente
  • 9. Arbeitsblatt - Monotonieverhalten interaktiv
  • 10. Ganzrationale Funktionen Skizzieren!
  • 11. Grafisches Differenzieren von Funktionen
  • 12. Differentialrechnung - Wendepunkte - Sachsenringkurve

4.1.

Monotonie sichtbar farbig - Update 2022

[color=#93c47d][size=200]Monoton Steigend = Grün = "im Frühjahr grünt die Natur"[/size][/color][br][color=#980000][size=200]Monoton fallend = Braun = "im Herbst fallen die braunen Blätter vom Baum"[/size][/color]
[size=200]Beschreiben Sie das Monotonie - Verhalten von G[sub]f[/sub]. [br][br]Geben Sie dabei immer das maximale Intervall an.[br][br]Welches Verhalten zeigt die 1. Ableitung von f jeweils?[/size]
– Franz Arbeitsaufträge Corona

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

5.

Exponetialfunktionen

  • 1. Beispiel für exponentielle Abnahme: Der radioaktive Zerfall

5.1.

Beispiel für exponentielle Abnahme: Der radioaktive Zerfall

Erarbeiten Sie sich die Gesetzmäßigkeiten des radioaktiven Zerfalls von Atomkernen. Variieren Sie dazu die Eingangsgrößen mittels Schiebereglern bzw. Eingabefeldern. Das Zerfallsgesetz hat zwei verschiedene Schreibweisen, je nachdem, ob die Halbwertszeit oder die Zerfallskonstante vorgegeben ist. Testen Sie beide Varianten. Überführen Sie die eine Gleichungsvariante durch Rechnung in die andere. Lösen Sie anschließend die enthaltenen 4 Aufgaben.
Bei beiden Gleichungsarten kann ein Punkt entlang des Graphen per Maus bewegt werden. Gleichzeitung werden aktuell die vergangene Zeit seit Zerfallsbeginn und die prozentual noch im ursprünglichen Zustand vorhandenen Atomkerne für diesen Punkt angezeigt.
– Frank Reuter

6.

Gebrochen rationale Funktionen / Logarithmus

  • 1. Rechnen mit Logarithmen
  • 2. Monotonie farbig / Eingabefenster
  • 3. Exponential-, Potenz- und Logarithmusfunktion
  • 4. Ungleichungen
  • 5. Term gebrochen-rationaler Funktion aus Graph aufstellen
  • 6. Fischpopulation bei konstanter Fangquote
  • 7. Satz von Maximum und Minimum - Beispiel
  • 8. Kehrwertfunktion durch Verkettung
  • 9. Kopie von Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen
  • 10. Exponential - Funktionen

6.1.

Rechnen mit Logarithmen

Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen; aus wiederholten Multiplikationen werden viel weniger rechenintensive Additionen gemacht. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse sowie Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode oder die Spirale eines Schneckenhauses. (Quelle: Wikipedia) In der Astrophysik stellt man die Sterne in Abhängigkeit ihrer Leuchtkraft entlang logarithmisch geteilter Skalen dar (Hertzsprung-Russell-Diagramm), um die extremen Leuchtkraftunterschiede (Zehnerpotenzen!) in ein Diagramm eintragen zu können. In der Mathematik löst man Exponentialgleichungen durch Logarithmieren.

Aufgabe: Arbeiten Sie die verschiedenen Abschnitte durch, indem Sie den Schieberegler oben links betätigen. Es wurde sowohl Lernstoff mit Beispielen als auch Übungsmaterial aufgenommen.
– Frank Reuter

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

6.9.

–

6.10.

–

7.

Geometrie - Geraden und Ebenen in R3

  • 1. Schnitt von 3 Ebenen
  • 2. Kreuzprodukt von zwei Vektoren
  • 3. Parametergleichung einer Ebene
  • 4. Die Parametergleichung der Geraden
  • 5. Lagebeziehungen von Geraden in R³
  • 6. Kreuzende Geraden (3D)
  • 7. Lagebeziehung zweier Ebenen
  • 8. Gradientenfeld einer Funktion in 2 Variablen
  • 9. Partial Derivatives: Graphical Illustrator
  • 10. Gegenseitige Lage von Ebenen
  • 11. Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene
  • 12. Schnittwinkel im Raum
  • 13. Abstandsbestimmungen
  • 14. Lagebeziehung von Geraden und Ebenen
  • 15. Vektor als Linearkombination von 3 Vektoren darstellen (3D)
  • 16. Windschief, parallel, schneidend - Geraden - Lagebeziehung
  • 17. Gerade in Parameterform
  • 18. Ebene in Parameterform
  • 19. Geraden im Raum
  • 20. Übung: Umrechner - Normal -und Parameterform
  • 21. Lagebeziehung zweier Geraden im dreidimensionalen Raum
  • 22. Übung: Linearkombinationen erzeugen
  • 23. Gemeinsame Punkte einer Schar

7.1.

Schnitt von 3 Ebenen

Durch die Gleichungen[br][math] \varepsilon_{1}: a_{1} \cdot x + b_{1} \cdot y + c_{1} \cdot z = d_{1} [/math][br][math] \varepsilon_{2}: a_{2} \cdot x + b_{2} \cdot y + c_{2} \cdot z = d_{2} [/math][br][math] \varepsilon_{3}: a_{3} \cdot x + b_{3} \cdot y + c_{3} \cdot z = d_{3} [/math][br]sind drei Ebenen gegeben.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]a) Verändere die Schieberegler für die Koeffizienten der Gleichungen und beobachte die Auswirkungen.[br]b) Stelle die Koeffizienten so ein, dass[br][list][*] 2 Ebenen parallel sind,[br][/*][*] 3 Ebenen parallel sind,[br][/*][*] alle 3 Ebenen ein Ebenenbüschel bilden (sie schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden).[/*][/list]
– Andreas Lindner

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

7.10.

–

7.11.

–

7.12.

–

7.13.

–

7.14.

–

7.15.

–

7.16.

–

7.17.

–

7.18.

–

7.19.

–

7.20.

–

7.21.

–

7.22.

–

7.23.

–

8.

sfs

  • 1. Lokale Extrema
  • 2. Fischpopulation bei relativer Fangquote
  • 3. Trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktionen

8.1.

Lokale Extrema

Die Hesse-Matrix ist gegeben durch [math] Hess \, f(x,y) = \left( \begin{array}{} \frac{∂^2f}{∂x^2} & \frac{∂^2f}{∂y \, ∂x} \\ \frac{∂^2f}{∂x \, ∂y} & \frac{∂^2f}{∂y^2} \\ \end{array} \right) [/math][br][br][b]Satz[br][/b]Für die zweimal stetig differenzierbare Funktion [math]f:D\left(\subseteq\mathbf{R^2}\right)\rightarrow\mathbf{R}[/math] mit grad f(x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]) = 0 und die symmetrische Matrix [math] Hess = \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{array} \right) [/math] gilt: [br]i) det Hess > 0 ∧ a[sub]1,1[/sub] > 0 ⇒ Hess ist positiv definit, d. h. f besitzt in (x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]) ein lokales Minimum. [br]ii) det Hess > 0 ∧ a[sub]1,1[/sub] < 0 ⇒ Hess ist negativ definit, d. h. f besitzt in (x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]) ein lokales Maximum.[br]iii) det Hess < 0 ⇒ Hess ist indefinit, d. h. f besitzt in (x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]) einen Sattelpunkt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verschiebe den [color=#0000ff][b]Punkt P[/b][/color] und versuche, Maxima, Minima und Sattelpunkte zu finden.[br]Untersuche weitere Funktionen wie[br]f(x,y) = x*y , f(x,y) = 0.5(x³ + x² - x) - 0.5y² , f(x,y) = sin(x)*sin(y) etc.[br][br]Hinweis: [br]Bei Bedarf kannst du die Einstellungen für das Gitternetz der xy-Ebene auf Abstand π oder π /2 ändern.[br][br]Zusatzfrage: [br]Wieso kann mit diesem Satz kein Sattelpunkt für die Funktion f mit f(x,y) = x³ gefunden werden?
– Andreas Lindner

8.2.

–

8.3.

–

Information