[b][br][br][br]（一）正态分布[br][br][/b][br] 正态分布，又称为高斯分布，作为连续随机变量的概率分布，是概率统计中最常用的概率分布。一般来讲，为了便于区分，在描述连续随机变量的分布时，我们使用概率密度函数[math]f\left(x\right)[/math]，而不是在离散随机变量中使用的[math]p\left(X\right)[/math] 。[br] [br] 如果随机变量[img width=15,height=15]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml12200/wps3.png[/img]的概率密度函数为：[br][br] [math]f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}[/math]

则称[math]X[/math]服从数学期望为[math]\mu[/math]，方差为[math]\sigma^2[/math]2的正态分布，记为[math]X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right)[/math]。简单来说，[math]\mu[/math]是整个概率分布的平均值，从图形上决定了其位置，[math]\sigma[/math]是整个概率分布的偏差水平，从图形上决定了其幅度。下图是[math]\mu=0,\sigma=1[/math]时的正态分布图，称为标准正态分布。见图1-2-8

[center][img]https://s21.ax1x.com/2025/02/22/pElM1pt.png[/img][br]图1-2-8 正态分布图[/center][br] 正态分布在现实生活的各个场景中有着极为广阔的应用，尤其是在大数据分析领域，由于正态分布具有形式简单、性质优良的特性，特别适合机器学习中大规模批量化处理的模型。[br][br] 正态分布是典型的统计学基础定理——中心极限定理的应用体现。中心极限定理是与大数定理并列的重要概率理论。其核心思想是：大量的独立随机变量相加，不论各个随机变量的分布是怎样的，它们的加和必定会趋向于正态分布。而大数定理的含义是，随机变量[math]X[/math]多个观察值的均值会随着观察值的增加越发趋近于期望值[math]\mu[/math]，即均值服从期望为[math]\mu[/math]的正态分布。

[b]二、指数分布[br][br][br][/b] 在连续型随机分布中，存在一个与指数有关的分布，指数分布。[br] 如果随机变量[math]X[/math]的概率密度函数为:[br] [br] [math]f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x},x>0;0,x\le0[/math]

则称[math]X[/math]服从参数为[math]\lambda[/math]的指数分布，记为[math]X\sim E\left(\lambda\right)[/math]，其中[math]\lambda>0[/math]为常数。下图为[math]\lambda=1[/math]时的指数分布概率密度图。见图1-2-9。

[center][/center][center][img]https://s21.ax1x.com/2025/02/22/pElMRAJ.png[/img][br]图1-2-9 指数分布图[/center]

指数分布的一个重要性质是“无记忆性”。用数学语言来描述，即服从指数分布的随机变量[math]X[/math]满足：[br] [math]P\left(X>s+t\mid X>s\right)=P\left(X>t\right)[/math]，其中，[math]s[/math]和[math]t[/math]是两个常数。[br][br] 举例来说，设随机变量[math]X[/math]是灯泡的使用时间，上面的公式是指，灯泡在已经使用[math]s[/math]小时的条件下，使用时间长于[math]s+t[/math]小时的概率与灯泡使用时间长于[math]t[/math]小时的概率是相等的，这意味着，灯泡已经忘记了自己已使用了[math]s[/math]小时，这就是“无记忆性”，正因为这一特性，指数分布常常应用于排队论中。[br][br] 排队论，也称随机服务系统理论。在这一理论中，我们常常假定顾客到来是“不可预测”的随机事件，而这一特性符合泊松分布的应用场景，所以顾客单位时间内到达的人数服从泊松分布，与之相对应，顾客的到达时间间隔服从指数分布。设单位时间内到达的顾客数量为[math]\lambda[/math]，则顾客的到达时间间隔[math]T[/math]服从如下的概率密度函数：

[math]f\left(t\right)=\lambda e^{-\lambda t},t\ge0[/math]，式中,[math]T[/math]的均值为1/[math]\lambda[/math]，方差为1/[math]\lambda^2[/math]。[br][br] 以上二种连续分布的动态演示图已用数学软件Geogebra画出，学习者可以调整各分布的参数查看图形变化过程，其图形可[color=#0000ff][b][url=https://www.geogebra.org/m/hcnt8nj9]下载[/url][icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon][/b][/color]研究。

[center]图2-10 二种分布在Geogebra中的呈现[/center] 以上内容均在百度网盘可供下载，[color=#0000ff][b][url=https://pan.baidu.com/disk/main?from=oldversion#/index?category=all&path=%2F%E9%85%8D%E5%A5%97%E8%B5%84%E6%BA%90%E4%B8%8B%E8%BD%BD%2F%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%88%86%E5%B8%83]下载[/url][icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon][/b][/color]网址为：

【小思考：人工智能可以完成高复杂度的计算，但是离“算计”还有多远？】[br] 这个问题，可以留给读者思考，或许可以拓展新的人工智能领域。