Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkeligen Dreiecken

Bogenmaß kennenlernen

Aufgabe
Schau dir das folgende Video zum Bogenmaß an und mache dir Notizen und Skizzen in dein Lerntagebuch.

Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens

Information
In rechtwinkeligen Dreiecken konnten wir Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel zwischen 0° und 90° definieren. Mithilfe des Einheiltskreises haben wir eine Möglichkeit bekommen, Sinus, Cosinus und Tangens für alle Winkel von 0° bis 360° zu berechnen.[br][br]Es ist nun naheliegend, die Winkelfunktionen - wenn möglich - auf die ganze Menge [math]\mathbb{R}[/math] zu erweitern.[br][br]Was versteht man aber unter einem Winkel [math]\alpha[/math]=400° oder [math]\beta[/math]=-45°?[br][br]Die Bewegung des Punktes entlang des Einheiskreises kann man mit einem Winkel beschreiben. Bei 400° durchläuft der Punkt gegen den Uhrzeigersinn einmal komplett die Kreislinie und bewegt sich anschließend um 40° weiter. Es gilt also sin(400°)=sin(40°). [br][br]Bei -45° bewegt sich der Punkt um 45° im Uhrzeigersinn. Es gilt also sin(-45°)=sin(315°) Man kann dieses Prinzip natürlich auch auf Winkel im Bogenmaß anwenden
Mit diesem Applet kannst du kontrollieren, ob du die Inhalte richtig verstanden hast.
Aufgaben
[list][*]Übertrage die Zusammenhänge im gelben Kästchen in dein Lerntagebuch.[/*][*]Stelle deinen Taschenrechner auf das Bogenmaß um, indem du die Taste DRG drückst und RAD (für radiant) wählst.[br][/*][*]Berechne [math]sin\left(\frac{\pi}{2}\right)[/math], [math]sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)[/math], [math]sin\left(\frac{9\pi}{2}\right)[/math] und [math]sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)[/math]. Vergleiche die Ergebnisse und erkläre diese anhand einer Skizze.[br][/*][*]Berechne [math]cos\left(\frac{\pi}{3}\right)[/math], [math]cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)[/math] und [math]cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)[/math]. Vergleiche die Ergebnisse und erkläre diese anhand einer Skizze.[br][/*][/list]

Beispiele

In diesem Kapitel untersuchst du, wie sich der Graph der Sinus- und Cosinusfunktion ändert, wenn die Funktionsgleichung durch Parameter erweitert wird.[br]
AUFGABE:
[list][*]Zeichne die Graphen der Funktionen f, g, h und i in dasselbe Koordinatensystem[/*][*][math]f(x)=sin(x)[/math][br][math]g(x)=2\cdot sin\left(x\right)[/math][br][math]h(x)=sin(2\cdot x)[/math][br][math]i(x)=-sin(x)[/math][/*][*]Erkläre, welche Zusammenhänge zwischen den Graphen der Funktionen von f, g, h und i erkennbar sind.[/*][*]Wie oft schwingt der Graph von g, h und i im Intervall [math]\left[0;2\pi\right][/math]?[/*][/list]

Information