Expoente Fracionário e Radiciação

A relação entre a Potenciação e a Radiciação

Nesta última seção falamos sobre a relação entre as operações de Potenciação e Radiciação, a partir de dois applets que contém exemplos com expoentes fracionários, conforme veremos a seguir:

Expoente Fracionário com Raiz Exata

Primeiro applet

Neste primeiro applet trazemos exclusivamente exemplos de raízes cujos resultados são números inteiros, conhecidas como "raízes exatas". Para tanto, observe que em ambos os exemplos o expoente de dentro dos parênteses é igual ao denominador do expoente fracionário de fora dos parênteses.[br][br]Neste applet, assim como em vários applets anteriores já vistos neste livro digital, há dois métodos de resolução que chegam na mesma resposta final, mas no final há uma compilação dos dois métodos, o que faz justamente ficar clara a propriedade em questão. Observe que há simplificações de uma passagem para outra.[br][br][b]Que propriedades já anteriormente vistas embasam as passagens desta para chegarmos a um resultado?[/b]

Potência de Expoente Fracionário

Segundo applet

Neste segundo applet, diferente do primeiro, não nos prendemos a apenas raízes exatas. Podemos manipular os controles deslizantes em 4 parâmetros agora: a base, o expoente interno, além do numerador e denominador do expoente fracionário. Observe que há simplificações de uma passagem para outra.[br][br][b]Que propriedades já anteriormente vistas embasam as passagens desta para chegarmos a um resultado?[/b]

Manipulando os applets sobre expoentes fracionários

Logo a seguir há algumas perguntas sobre as propriedades vistas acima. Para respondê-las vocês deverá manipular os dois applets vistos nessa atividade, disponíveis aí em cima. [b]Mexa os parâmetros para um lado e para o outro e note o que vai acontecendo com as operações, a cada mexida[/b].[br][br]Para responder as perguntas abaixo, manipule os applets conforme é solicitado em cada questão.

Questão 01

Responda a questão feita no texto do primeiro applet visto acima.[br]

Questão 02

Responda a questão feita no texto do segundo applet visto acima.[br]

Questão 03

No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" por qual motivo a raiz sempre dá como resultado um número inteiro?

Porque como o expoente interno aos parênteses é sempre igual ao denominador do expoente externo fracionário, pela propriedade Potência de Potência essa fração pode ser simplificada para um expoente inteiro. Porque todos os expoentes são positivos. Porque a raiz de qualquer número é sempre exata, independente de qualquer coisa. Porque como o expoente externo aos parênteses é sempre igual ao denominador do expoente interno fracionário, pela propriedade Potência de Potência essa fração pode ser simplificada para um expoente inteiro. Porque como o valor da base é sempre inteiro, a raiz também sempre será um número inteiro.

Questão 04

No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" há dois métodos de resolver o problema, o qual se chega no mesmo resultado. Em que consiste o [b]primeiro[/b] método?

Em utilizar a propriedade Potência de Expoente negativo da Potenciação para simplificar a fração e torná-la um número inteiro, resolvendo assim o problema. Em fazer com que todos os expoentes fiquem positivos, resolvendo assim o problema. Em utilizar a propriedade Potência de Base fracionária da Potenciação para simplificar a fração e torná-la um número inteiro, resolvendo assim o problema. Em utilizar a propriedade Potência de Potência da Potenciação para simplificar a fração e torná-la um número inteiro, resolvendo assim o problema. Em fazer com que a base seja um número inteiro, resolvendo assim o problema.

Questão 05

No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" há dois métodos de resolver o problema, o qual se chega no mesmo resultado. Em que consiste o [b]segundo[/b] método?

Em fazer com que o expoente interno dos parênteses se torne o índice de uma radiciação, resolvendo assim o problema. Em transformar a potenciação de dentro dos parênteses em uma radiciação, para então resolver o problema. Em fazer com que todos os expoentes fiquem positivos, resolvendo assim o problema. Em resolver a potenciação de dentro dos parênteses e transformar tudo em uma radiciação, para então resolver o problema. Em utilizar a propriedade Potência de Base fracionária da Potenciação para simplificar a fração e torná-la um número inteiro, resolvendo assim o problema.

Questão 06

No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" o primeiro método funcionaria da mesma forma caso o expoente interno não fosse sempre igual ao denominador do expoente fracionário externo?

Não, pois não necessariamente teria como simplificar a fração resultante, o que não a transformaria em um número inteiro, impossibilitando resolver o problema com quaisquer das propriedades vistas anteriormente. Não, pois ficaria impossível simplificar a fração resultante, o que não a transformaria em um número inteiro, impossibilitando resolver o problema com quaisquer das propriedades vistas anteriormente. Sim, pois nesse caso os valores do expoente interno e do denominador do expoente fracionário não precisam ser iguais. Sim, pois sempre uma potência de expoente fracionário terá como resultado um número inteiro. Não, pois o valor da base será diferente do valor do expoente interno.

Questão 07

No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" o que acontece quando você altera os valores do expoente do denominador e deixa fixo os demais parâmetros?

O resultado final se altera, pois a base troca de valor. O resultado final se altera, pois o numerador do expoente fracionário troca de valor. O resultado final se altera, pois a o denominador do expoente fracionária fica com valor diferente do expoente interno aos parênteses. O resultado final não se altera, apesar das mudanças ocorridas nas operações intermediárias. O resultado final não se altera e nem nenhuma outra operação intermediária também.

Questão 08

No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" mexa nos parâmetros e informe: qual o valor da expressão [math]\left(5^3\right)^{\frac{2}{3}}[/math]?

5 1 25 125 625

Questão 09

No applet "Potência de Expoente Fracionário" a raiz sempre dá como resultado um número inteiro?

Não, pois a maioria dos números não possui uma raiz exata. Não, pois isso só acontece quando o denominador do expoente fracionário é igual ao expoente interno. Não, pois o valor da base será diferente do valor do expoente interno. Sim, pois nesse caso os valores do expoente interno e do denominador do expoente fracionário não precisam ser iguais. Sim, pois sempre uma potência de expoente fracionário terá como resultado um número inteiro.

Questão 10

No applet "Potência de Expoente Fracionário" qual das opções abaixo define melhor a propriedade mostrada nele?

Uma potenciação de expoente fracionário não pode ser escrita em forma de radiciação se o numerador interno é diferente do denominador do expoente fracionário. Uma potenciação de expoente fracionário sempre tem como resultado uma raiz exata. Uma potenciação de expoente fracionário pode ser escrita em forma de radiciação, a qual a potência se torna radicando, o expoente se torna o índice e a base se torna a raiz. Uma potenciação de expoente fracionário pode ser escrita em forma de radiciação, já que potência e raiz sempre possuem valores iguais. Não há qualquer relação entre potenciação e radiciação.

Questão 11

No applet "Potência de Expoente Fracionário" mexa nos parâmetros e informe: qual o valor da expressão [math]\left(7^2\right)^{\frac{2}{4}}[/math]?

7 343 49 2361 1

Questão 12

No applet "Potência de Expoente Fracionário" mexa nos parâmetros e informe: qual o valor da expressão [math]\left(8^3\right)^{\frac{2}{2}}[/math]?

512 4096 1 64 8