Quadratische Funktionen - Einführung
Qudratische Funktionen und Gleichungen
Table of Contents
- Strecken und Stauchen der Normalparabel
- QF I - Streckung und Stauchung
- QF I - Aufgaben
- Scheitelpunktform
- QF II - Verschiebung
- QF II - Scheitelpunktform
- QF III - Normalform
- QF III - Umwandlungen
- QF III - Umwandlungen (2)
- Parabelbogen I: Hängebrücke
- Parabelbogen II: Brückenbogen
- Nullstellenbestimmung
- QG I - Nullstellen graphisch bestimmen
- QG II - Nullstellen Definition und Typ "p=0"
- QG III - Nullstellen Typ "q=0"
- QG IV - Nullstellen mit "pq-Formel" (Herleitung)
- QG V - Lösungsformel anwenden ("p-q-Formel")
- QG VI - Schnittpunktbestimmung
QF I - Streckung und Stauchung
Als [b]quadratische Funktionen[/b] werden Funktionen bezeichnet, die einen Term vom Typ [math]f\left(x\right)=a\cdot x^2[/math] mit [math]a\ne0[/math] enthalten (wobei 2 die höchste Potenz ist, die im Funktionsterm auftritt).[br][br]Der Graph einer quadratischen Funktion [math]f\left(x\right)=a\cdot x^2[/math] ist eine [b]Parabel, [/b]die durch den Koordinatenursprung O(0|0) verläuft.[br]Die Zahl a wird auch als [b]Streckfaktor[/b] bezeichnet.
Bewege den Schieberegler, um den Streckfaktor a zu variieren.
Man unterscheidet folgende Fälle:[br][br]a>0: Die Parabel ist nach [b]oben[/b] geöffnet.[br]a<0: Die Parabel ist nach [b]unten [/b]geöffnet.[br][br]|a| > 1: Die Parabel ist [b]gestreckt[/b] (d.h. die "Arme" verlaufen steiler)[br]0 < |a| < 1: Die Parabel ist [b]gestaucht[/b] (d.h. die "Arme" verlaufen flacher).[br][br] a=1 nennt man [b]Normalparabel.[br][/b][br]Der tiefste bzw. höchste Punkt der Parabel wird als [b]Scheitelpunkt[/b] bezeichnet.
QF II - Verschiebung
Verschiebung in y-Richtung (nach oben/unten)
Der Graph der quadratischen Funktion[br][math]f\left(x\right)=x^2+e[/math][br]ist eine Normalparabel, die -bezogen auf den Koordinatenursprung (0|0)- um e Einheiten nach [b]oben[/b] (für e>0) bzw. nach [b]unten[/b] (für e<0) [b]verschoben[/b] ist.[br]
Verschiebung in y-Richtung
Verschiebung nach links/rechts in x-Richtung
Der Graph der quadratischen Funktion [br][math]f\left(x\right)=\left(x+d\right)^2[/math][br]ist eine Normalparabel, die um d Einheiten -bezogen auf den Koordinatenursprung- nach [b]links (d>0)[/b] bzw. nach[b] rechts (d<0)[/b] in x-Richtung [b]verschoben[/b] ist.[br][br][b][color=#ff0000]BEACHTE, [/color]dass in der Klammer ein [color=#ff0000]MINUS[/color]-Zeichen eine Verschiebung in den positiven Bereich bewirkt und umgekehrt !!!![br][/b]D.h. [math]f\left(x\right)=\left(x+3\right)^2[/math] bewirkt eine Verschiebung nach LINKS in den negativen Bereich.
QG I - Nullstellen graphisch bestimmen
Die dem Diskuswurf zugrunde liegende Funktionsgleichung lautet[br] [math]f\left(x\right)=-0,02x^2+1,42x+1,44[/math][br]wobei x für die Wurfweite und f(x) für die erreichte Höhe steht.[br][br]Die Wurfweite x erhält man durch Lösen der quadratischen Gleichung f(x)=0. Graphisch entsprechen die [b]Nullstellen [/b]der Funktion f(x) den Schnittpunkten mit der x-Achse.[br][br]Die maximal erreichte Höhe ermittelt man durch Bestimmung des [b]Scheitelpunkts S(x[/b][sub]s [/sub][b]/ y[/b][sub]s).[/sub] Die y-Koordinate y[sub]s[/sub] des Scheitelpunkts gibt dann die maximale Höhe an.[br][br]Graphisch lässt sich die Aufgabe einfach mit einem Funktionenplotter lösen:
Die maximale Wurfweite beim Diskuswurf beträgt
Die maximale Flughöhe beträgt