Zweidimensionale Koordinatensysteme kennt ihr ja bereits. Ihr zeichnet sie wie bekannt in euer Heft:[br]x-Achse und y-Achse schneiden sich bei 0, die x-Achse läuft waagerecht, die y-Achse senkrecht.[br][br]Ein dreidimensionales Koordinatensystem funktioniert genauso wie ein zweidimensionales Koordinatensystem, wobei eine dritte Achse hinzugefügt wird.[br][br]Wir nennen die Achsen [math]x_1[/math], [math]x_2[/math] und [math]x_3[/math], wobei die [math]x_1[/math]-Achse in einem 45°-Winkel nach vorne links, die [math]x_2[/math]-Achse nach rechts und die [math]x_3[/math]-Achse nach oben gezeichnet wird.[br][br]Dies ist im folgenden Koordinatensystem dargestellt:[br]1. Aktiviert das 3D-Koordinatensystem. Beachtet, wie die [math]x_1[/math]-Achse quasi aus dem Bildschirm "herauskommt".[br]2. Aktiviert den Winkel zwischen beiden Achsen. Wenn ihr dreidimensional zeichnet, soll die Achse so gezeichnet werden wie dargestellt.[br][br]Hinweis: In drei Dimensionen gibt es zwei übliche Angaben für die Koordinatenachsen:[br][math]x_1[/math] = x[br][math]x_2[/math] = y[br][math]x_3[/math] = z[br]
Die x-Achse des 2D-Koordinatensystems wird im 3D-Koordinatensystem wie genannt?
In welchem Winkel müsst ihr die [math]x_1[/math]-Achse im 3D-Koordinatensystem einzeichnen?
Im Winkel von [math]45°[/math] nach links unten. Das bedeutet, bei normalem Kästchenpapier ist die [math]x_1[/math]-Achse eine Diagonale der einzelnen Kästchen. Wichtig: Links unten ist vorne!
In welchen Abständen werden Zahlenwerte an die [math]x_1[/math]-Achse geschrieben?
Beim Durchgang durch jedes Kästchen. Die [math]x_1[/math]-Achse hat also kürzere Abstände zwischen den einzelnen Werten auf der Achse als die beiden anderen Achsen.[br]Der genaue Faktor ist [math]\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0,7071[/math].
Während wir auf Papier an die oben beschriebene Darstellungsform gebunden sind, können wir an PCs und anderen digitalen Geräten Koordinatensysteme beliebig rotieren. Hier haben die Achsen dann jeweils einen [math]90°[/math]-Winkel zueinander.[br](Hintergrund: Auch auf digitalen Geräten müssen wir 3D-Koordinatensysteme auf einen zweidimensionalen Bildschirm herunterbrechen. Wir haben hier verschiedene Möglichkeiten:[br]- Die Darstellung mit [math]90°[/math]-Winkel heißt "orthographische Projektion";[br]- Die oben beschriebene Darstellungsform ist eine "Schrägprojektion" mit einem Winkel von [math]45°[/math];[br]- die "Perspektivische Projektion" ist eine komplexere Darstellungsform, die das Betrachten eines Objekts durch einen Beobachter (wie beim Auge) darstellt.[br]Im unteren Applet ist die orthographische Projektion eingestellt, die sich für die meisten mathematischen Anwendungen gut eignet. Sie wird auch in den folgenden GeoGebra-Aktivitäten verwendet.)