Üstel fonksiyonların, anlık değişim hızı (verilen herhangi bir giriş değerinde) doğrudan o fonksiyonun çıktısına (söz konusu giriş değerinde değerlendirilen) göre değişen tek fonksiyonlar olduğunu hatırlayın[br][br]Örneğin:[br]Taşıma kapasitesinin veya diğer engelleyici faktörlerin olmadığı varsayılırsa, herhangi bir t anında belirli bir türün popülasyonunun anlık büyüme hızı yalnızca o t zamanındaki gerçek popülasyona bağlıdır. (Bir düşünün: Bir bakteri kolonisinin sadece 10 bakterinin olduğu bir andaki büyüme hızı, 10.000 bakterinin olduğu andaki anlık büyüme hızından çok daha düşük olacaktır.)[br][br]Bu nedenle, herhangi bir üstel fonksiyon için (a >0 şeklinde yazılabilen), türevi her zaman kendisinin bir skaler katı olacaktır. Bunun resmi olmayan bir örneği için aşağıdaki uygulamaya bakın[br][br] Uygulamayla birkaç dakika etkileşime geçin, ardından aşağıdaki soruları yanıtlayın.
a'nın tüm x'ler için f'(x) = f(x) olduğu belirli bir temel değeri var mı? Eğer öyleyse, bu belirli temel değerin ne olduğunu düşünüyorsunuz?
Bir türevin formal limit tanımını kullanarak [math]f\left(x\right)=a^x[/math], daha sonra [math]f'\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)[/math], (burada k bir skalerdir) oldugunu gösteriniz.
İşte BÜYÜK İPUCU -- Birkaç hafta içinde bu gerçeğin doğruluğunu resmen kanıtlayacaksınız:[br][br]limit (h -->0) [math]\frac{a^h-1}{h}[/math] = [math]ln\left(a\right)[/math].
For the previous question, what is the exact value of this constant (scalar) k?
[math]k=ln\left(a\right)[/math]
k = soru (1)'e yanıt olarak verdiğiniz değer olduğunda, f'nin tanım kümesindeki tüm x'ler için f'(x) = f(x) olduğunu resmi olarak kanıtlamak için önceki iki sorudan elde ettiğiniz sonuçları kullanın