Quando una funzione imita l'andamento di un'altra funzione senza mai sovrapporsi ad essa, si parla di andamento asintotico. Tipicamente, la funzione di riferimento a cui la funzione iniziale si "avvicina" è una retta. [br][br]In precedenza abbiamo avuto occasione di parlare di una caratteristica di questo tipo parlando della [url=https://www.geogebra.org/m/GedCeBE6#material/rXxJxYPZ]funzione esponenziale[/url]; un altro caso piuttosto comune è quello dell'[url=https://www.geogebra.org/m/bENRgkEw#chapter/102733]iperbole[/url].[br][br]Studiando i limiti si vede come i limiti che coinvolgono in qualche modo il simbolo di infinito sono legati spesso a degli asintoti orizzontali o verticali. In questo capitolo ci concentriamo invece su un altro tipo di asintoto, quello obliquo.
Riassumiamo quindi la procedura per verificare la presenza di un eventuale asintoto obliquo[br][br][b]1) Calcolo il limite quando [math]\large{x\to +\infty}[/math] (oppure [math]\large{x\to -\infty}[/math])[br][/b][br]Alcune considerazioni:[br][list][*]ha senso farlo [u]se il dominio della funzione me lo consente[/u], cioè se in quella parte del piano la funzione effettivamente esiste e mi dà dei risultati.[br] [/*][*]faccio questi due limiti perché sono le uniche due "zone" del piano in cui posso pensare che la funzione si "allinei" ad una retta obliqua. [/*][/list][br]Posso avere due tipi di risultato:[br]
Se il limite dà un risultato finito, significa che la funzione "si allinea" su un certo valore [math]y[/math] e quindi avendo un asintoto orizzontale non possiamo averne uno obliquo.[br][br]Se invece il risultato è [math]\pm \infty[/math] [i]potremmo[/i] avere un asintoto obliquo, ma sono necessarie ulteriori verifiche.
nel caso ottenga [math]\large{\pm \infty}[/math] quindi proseguo[br][br][b]2) Confronto gli ordini dei due infiniti: [math]\large{\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}}[/math] (oppure [math]\large{x\to -\infty}[/math])[/b] [br]Sia la funzione che una retta sono infiniti quando [math]\large{x\to +\infty}[/math]: dobbiamo vedere se vanno all'infinito [b]allo stesso modo[/b]. [br]Dobbiamo cioè confrontare cioè la "velocità" con cui la [math]\large{y}[/math] aumenta [color=#ff0000]nella funzione[/color] e quella con cui aumenta [color=#0000ff]in una retta generica[/color] (che va come [math]\large{x^1 = x}[/math]). Per fare questo considero il rapporto [math]\large{\frac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{x}}}[/math], che di fatto è un conflitto tra infiniti e quindi gestisco come tale.
L'esito del confronto tra i due infiniti ci permette di capire se la funzione [math]\textcolor{red}{f(x)}[/math] cresce come una generica retta, cioè come la potenza prima di [math]\textcolor{blue}{x}[/math], oppure no.
Se otteniamo un numero [math]\large{\textcolor{#007700}{N}}[/math] finito (cioè non infinito) la funzione cresce come una retta, in particolare come una retta il cui coefficiente angolare vale proprio [math]\large{\textcolor{#007700}{N}}[/math]. Infatti se rifaccio il calcolo usando questa retta:[br][br][math]\large{\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{\textcolor{#007700}{N}x}= \frac{1}{\textcolor{#007700}{N}}\cdot \textcolor{orange}{\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}} = \frac{1}{\textcolor{#007700}{N}}\cdot \textcolor{orange}{N}=1}[/math][br][br]cioè i due infiniti fanno ESATTAMENTE alla stessa velocità.[br][br]In questo caso proseguo per capire se è necessario "alzare" o "abbassare" la retta[br][br][b]3) Studio come si comporta [u]all'infinito[/u] la differenza tra il risultato [math]\large{f(x)}[/math] generato dalla funzione e quello [math]\large{\textcolor{#007700}{N}x}[/math] della retta: [math]\large{\lim_{x\to +\infty} f(x)-\textcolor{#007700}{N}x}[/math] [/b] [br](cioè la distanza tra le due misurata in verticale, cioè lungo le [math]\large{y}[/math])[br][br]
Considero cosa succede nella zona del piano che mi interessa, cioè quando [math]\textcolor{red}{x\to +\infty}[/math]. [br][br][color=#38761d][b]La funzione[/b][/color] e [b]la retta[/b] diventano sempre più parallele (crescono alla stessa velocità) quindi la loro distanza ([color=#9900ff][b]cioè la differenza Q[/b][/color] tra i rispettivi risultati) quando [math]\textcolor{red}{x\to +\infty}[/math] diventa costante. [br][br]Se questo valore costante non è infinito possiamo "correggere" la retta in modo che la funzione vi si avvicini sempre di più.[br][br]In questo caso il risultato della [b][color=#38761d]funzione[/color][/b] è maggiore di quello della[b] retta[/b] (quindi la funzione "sta sopra"). Possiamo quindi correggere la [b]retta[/b] "alzandola" (e quindi aumentandola) proprio di [b][color=#9900ff]Q[/color][/b]: la sua equazione sarà quindi [br][math]y=\textcolor{#007700}{N}x+\textcolor{#9900ff}{Q}[/math].
[b]Se il risultato del limite è zero[/b], significa che per [math]\large{x\to +\infty}[/math] il risultato della funzione diventa sempre più simile a quello della retta, che quindi è effettivamente un asintoto.[br][br][u]Se il risultato è un numero finito positivo[/u], ad esempio [math]\large{3}[/math], vuol dire che il risultato della funzione all'infinito è costantemente [math]\large{3}[/math] unità più alto di quello della retta. Perché questa sia un asintoto deve quindi essere "alzata" di [math]\large{3}[/math] unità, e lo facciamo aggiungendo un corrispondente termine noto. L'asintoto corretto ha quindi equazione [math]\large{y=x+3}[/math].[br][br][u]Se il risultato del limite è negativo[/u] vale l'identico discorso, solo che la funzione è "sotto" alla retta e quest'ultima deve essere "abbassata". [br][br][b]In generale se il limite risulta un numero finito[/b] [math]\large{\textcolor{purple}{Q}}[/math] la retta deve essere quindi corretta proprio di [math]\large{\textcolor{purple}{Q}}[/math] unità verso l'alto o verso il basso, quindi la funzione ha un asintoto obliquo di equazione[br][br][math]\Large{y=\textcolor{#007700}{N}x+\textcolor{purple}{Q}}[/math][br][br][b][color=#ff0000]Se il risultato del limite è [math]\large{\pm \infty}[/math], significa che la differenza tra funzione e retta non può essere compensata, e quindi NON c'è asintoto[/color][/b].[br]