Legyen adott a P-modell két köre középpontjával és egy-egy kerületi pontjával.[br] Szerkesszük meg a két kör közös külső és belső érintőit!

Ez a feladat a középiskolai geometria órák ismert - bár nem túl egyszerű - feladata. Megoldása azon alapszik, hogy az euklideszi sík bármely két köre hasonló helyzetű: a két kör centrális nyújtással egymásba átvihető. Ha a körök nem koncentrikusak akkor két hasonlósági pontjuk van.[br][br]A hiperbolikus geometriában viszont a hasonlóság (a centrális nyújtás) nem értelmezett fogalom, így a feladat megoldása a P-modellen komoly kihívásnak tekinthető.[br][br]Lényegében két problémát kell megoldanunk. [br][br]Először meg kell szerkesztenünk azoknak a sugársoroknak a tartóit, amelyek tartalmazzák a külső ill. belső érintő egyeneseket. Azt, hogy ez miként érhető el, [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/gs96a8hd][b]itt láttuk be[/b].[/url] Ugyanis az ott kapott sugársor két tetszőleges elemét (egyik lehet maga a két kör centrálisa) megszerkesztve meg tudjuk szerkeszteni a sugársor tartóját.[br][br]A belső érintők tartója egy pont, de ha az egyik kör elegendően nagy a másikhoz képest, akkor a külső érintők tartója is lehet pont. Ebben az esetben az [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/t7ffE7rR]i[b]tt látott[/b][/url] arkhimédészi módszerrel szerkeszthetők az érintők. Ha a külső érintők eltérő (ultra-párhuzamos) egyenespárt alkotnak, akkor a sugársor tartója egyenes, amelyre merőleges lesz a keresett érintő. Ennek a megszerkesztésére [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/jZQbMzz9][b]itt láttunk példát[/b].[br][br][/url]A fenti két bekezdésben három előzőleg tárgyalt feladatra kellett hivatkoznunk, amelyek önmagukban is szép szerkesztési eljárásokat mutatnak be. [br][br]Reméljük,hogy egyetértenek olvasóink e sorok írójával abban, hogy ez a szép a geometriában.