FDM2
Des figures interactives utiles au cours [url="http://bit.ly/fdm2-2021"]Fondamentaux des Mathématiques 2[/url] de l'Université Claude Bernard Lyon 1.
Table of Contents
- Algèbre linéaire
- Équation cartésienne d'un plan en 3D
- Matrice 2x2
- Matrice 3x3
- Produit de matrices 2x2
- Milieux itérés
- Analyse
- Continuité
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Théorème de Rolle
- Théorème des accroissements finis
- Multiplication dans le plan complexe
- Suite géométrique réelle et complexe
- Somme géométrique
- Bifurcation de Feigenbaum
- f=o(g)
- Exponentielle complexe
- Polynôme de Taylor
- mandelbrot
- Linéaire ou logarithmique?
- Équations différentielles
- Équation Différentielle d'Ordre 1
- Exploration de l'espace des phases
- Équation différentielle vectorielle du premier ordre
- Équation différentielle du premier ordre
- Pendule pesant
- Équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants
- Solution d'une équation différentielle homogène du second ordre à coefficients constants
- Tangram sur l'aire du parallélogramme
- Modèle SIR
- Modèle SIR 3 phases
- Lotka Volterra prey-predator model
- Modèle SIR vaccination et immunodéficience
- Intégration
- Somme de Riemann
- Somme de Riemann gauche/droite
- Théorème de la moyenne
Équation cartésienne d'un plan en 3D
Un plan est l'ensemble des points [math]M\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}[/math] vérifiant [math]\vec{OM}\cdot \vec n=d[/math] avec [math]d\in\mathbb{R}[/math] une constante et [math]\vec n\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}[/math] un vecteur normal au plan. Cela se traduit par l'équation cartésienne [math]ax+by+cz=d[/math].[br][br]Si [math]d>0[/math], le plan est du côté où pointe le vecteur par rapport à l'origine. Si [math]d<0[/math], il est de l'autre côté. Si [math]d=0[/math], le plan passe par l'origine.
Vous pouvez varier le vecteur normal [math]\vec n[/math] et le produit scalaire [math]d[/math] .
Continuité
[math]\textcolor{green}f:{\textcolor{red}I}\to{\textcolor{green}\mathbb{K}}[/math] est continue en [math]\textcolor{red}{x_0\in I}[/math] si [math]\lim_{\textcolor{red}{x \to x_0}} \textcolor{green}f({\textcolor{red}x})=f({\textcolor{red}{x_0}})[/math][br][br]Mais qu'est-ce que ça veut-dire? Une manière opérationnelle de voir les choses est celle-ci:[br][br][math]\forall {\textcolor{green}\varepsilon} >0, \ \exists \textcolor{red}\delta > 0, \ \forall x \in I, \ \textcolor{red}{|x-x_0| \leqslant \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| \leqslant \textcolor{green}\varepsilon[/math].[br][br]C'est à comprendre comme un jeu: vous me donnez [math]\textcolor{green}\varepsilon[/math] et me mettez au défi de trouver [math]\textcolor{red}\delta[/math] tel que, si [math]\textcolor{red}x[/math] est [math]\textcolor{red}\delta[/math]-proche de [math]\textcolor{red}{x_0}[/math], alors je suis sûr que [math]\textcolor{green}f(x)[/math] est [math]\textcolor{green}\varepsilon[/math]-proche de [math]\textcolor{green}f(\textcolor{red}{x_0})[/math]. C'est-à-dire que la portion de courbe dans la zone rouge est bien aussi dans la zone verte: [math]x \in I, \ \forall \textcolor{red}{|x-x_0| \leqslant \delta}\Rightarrow \textcolor{green}{|f(x)-f({x_0})|\leqslant \varepsilon}[/math][br][br]Comme qui peut le plus, peut le moins, si j'ai un [math]\delta[/math] qui fonctionne, tous les autres plus petits fonctionneront également, donc il y a vraiment un enjeu si on cherche [b]le plus grand[/b] [math]\textcolor{red}\delta[/math] qui fonctionne! [url=https://images.math.cnrs.fr/Les-quantificateurs-et-les-fonctions-continues.html]Explication en bande dessinée[/url] et [url=https://wims.math.cnrs.fr/wims/wims.cgi?module=U1/analysis/epsilon.fr]exercice WIMS[/url] d'entraînement.
Si [math]f(x)=\sin(x)[/math], avec [math]x_0=0[/math], si [math]\varepsilon=0.1[/math], quel est le plus grand [math]\delta[/math] tel que [br][math]\forall \textcolor{red}{x \in I, \ |x-x_0| \leqslant \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| \leqslant \textcolor{green}\varepsilon[/math]?[br]
Si [math]f(x)=\sin(x)[/math], avec [math]x_0=\frac\pi2[/math], si [math]\varepsilon=0.1[/math], quel est le plus grand [math]\delta[/math] tel que [br][math]\forall \textcolor{red}{x \in I, \ |x-x_0| \leqslant \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| \leqslant \textcolor{green}\varepsilon[/math]?[br]
Si [math]f(x)=\lfloor x\rfloor[/math], avec [math]x_0=\frac12[/math], si [math]\varepsilon=0.1[/math], quel est le plus grand [math]\delta[/math] tel que [br][math]\forall \textcolor{red}{x \in I, \ |x-x_0| < \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| < \textcolor{green}\varepsilon[/math]?[br][br][math]\lfloor x\rfloor[/math] se note [code]floor(x)[/code] dans Geogebra.[br]
Si [math]f(x)=\lceil x\rceil[/math], avec [math]x_0=0[/math], si [math]\varepsilon=0.1[/math], quel est le plus grand [math]\delta[/math] tel que [br][math]\forall \textcolor{red}{x \in I, \ |x-x_0| < \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| < \textcolor{green}\varepsilon[/math]?[br][br][math]\lceil x\rceil[/math] se note [code]ceil(x)[/code] dans Geogebra.[br]
Équation Différentielle d'Ordre 1
Une équation différentielle de la forme [math]y'=f(x,y)[/math] est donnée. Un point de départ permet de visualiser une solution numérique de l'équation.
Vous pouvez modifier la fonction et le champ de vecteur. Vous pouvez passer en paramètres la valeur de la fonction et la position des points de départ A et B, en ajoutant à l'URL un paramètre du genre[br][br][code]?f(x,y)=exp(x)*y*u;A=(-8,1);B=(-8,3)[/code]
Somme de Riemann
Une fonction étant donnée, la somme des aires algébriques des n rectangles entre deux points s'appuyant sur son graphe est donnée et comparée à l'intégrale numérique entre ces deux points.
Vous pouvez modifier la fonction, les bornes d'intégration, le nombre de rectangles et leur point de calcul à gauche ou à droite de l'intervalle.