Liczby zespolone
[color=#c51414][b]Laboratorium matematyczne z GeoGebrą[/b][/color] Skrypt dla studentów uczelni technicznych [b]Elżbieta Kotlicka-Dwurznik, Joanna Rzepecka Politechnika Łódzka, Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki[/b] Projekt finansowany w ramach budżetu zadaniowego PŁ „Granty dydaktyczne PŁ” [url=https://port.edu.p.lodz.pl/course/view.php?id=41]Strona projektu na platformie Wikamp[/url] Łódź 2019
Table of Contents
- 1. Postać kartezjańska
- Wprowadzenie
- Płaszczyzna zespolona
- Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych
- Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych (1)
- 2. Postać trygonometryczna
- Moduł liczby zespolonej
- Argument główny liczby zespolonej
- Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych (2)
- Potęgowanie liczb zespolonych
- (*) Potęgowanie - interpretacja geometryczna
- Pierwiastkowanie liczb zespolonych
- 3. Wielomiany zespolone
- Rozkład wielomianu na czynniki
- Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych
- Równania wielomianowe w C (1)
- Równania wielomianowe w C (2)
- Zastosowania
- Równanie z parametrem
- Zadanie 3.1
- Zadanie 3.2
- Zadanie 3.3 (z parametrem)
Wprowadzenie
[br]Każdą liczbę zespoloną [math]z[/math] można jednoznacznie przedstawić w postaci[center] [math]z=x+iy[/math], gdzie [math]x,y \in \mathbb{R}[/math],[/center]zwanej [color=#980000][b]postacią kartezjańską[/b][/color] liczby zespolonej. Liczbę [math]x[/math] nazywamy [color=#980000][b]częścią rzeczywistą[/b][/color] liczby [math]z[/math] i oznaczamy przez [math]\text{Re}\,z[/math]. Liczbę [math]y[/math] nazywamy [color=#980000][b]częścią urojoną[/b][/color] liczby [math]z[/math] i oznaczamy przez [math]\text{Im}\,z[/math]. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez [math]\mathbb{C}[/math].[br][br]Jeśli [math]z=x+iy[/math], to [br][list][*]liczbę zespoloną [math]-z=-x-iy[/math] nazywamy [color=#980000][b]liczbą przeciwną[/b][/color] do [math]z[/math];[/*][*]liczbę zespoloną [math]\bar{z}=x-iy[/math] nazywamy [b][color=#980000]s[/color][/b][b][color=#980000]przężeniem[/color][/b] liczby [math]z[/math].[/*][/list][sup][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/sup][color=#666666] Liczbę zespoloną [math]i[/math] wprowadzamy:[/color][list][*][color=#666666]pisząc i [color=#666666]w Widoku Algebry[/color],[/color][/*][*][color=#666666][color=#666666]pisząc [b]Alt+i[/b][/color] [color=#666666][color=#666666]w Widoku Algebry[/color][/color] lub w Widoku CAS,[/color][/*][*][color=#666666]korzystając z klawiatury wirtualnej (zakładka [b]f(x)[/b]).[/color][/*][/list][color=#666666]Wprowadzone w Widoku Algebry liczby zespolone automatycznie etykietują się jako [math]z_1[/math],[math]z_2[/math], itd. [br]W poniższym aplecie wykorzystane zostały polecenia: [b]CzęśćRzeczywista[/b](...), [color=#666666][b]CzęśćUrojona[/b](...) i [b]sprzężony[/b](...).[/color][/color]
Przyklad 1.1
Niech [math]z_1=i[/math] oraz [math]z_2=2i-1[/math]. Obliczymy [math]\text{Re}(z_2)[/math], [math]\text{Im}(z_2)[/math], [math]\overline{z_1}[/math] i [math]\overline{z_2}[/math].
Ćwiczenie.
Niech [math]w=2-3i[/math]. Oblicz Czy [math]\text{Re}w<\text{Im}w[/math]? Oblicz [math]\overline{w}[/math].
Moduł liczby zespolonej
[b][color=#980000][br]Modułem liczby zespolonej[/color][/b] [math]z=x+i\,y[/math], [math]x,y∈\mathbb{R}[/math], nazywamy liczbę rzeczywistą [center][math]|z|=\sqrt{x^2+y^2}[/math].[/center][table][tr][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/td][td][color=#666666]Moduł liczby zespolonej (podobnie jak liczby rzeczywistej) wyznaczamy używając funkcji [b]abs[/b](...).[/color][/td][/tr][/table]
Przykład.
Ćwiczenie.
Wybierz zdania prawdziwe. Do obliczeń możesz wykorzystać powyższy aplet.
Intereptacja geometryczna:
Geometrycznie moduł liczby [math]z=x+iy[/math] równy jest odległości punktu [math](x,y)[/math] od początku układu współrzędnych[math](0,0)[/math] lub długości wektora [math][x,y][/math].
Pytanie 1.
Ile jest liczb rzeczywistych, których moduł jest równy [math]2[/math]? A ile zespolonych? [br][size=85][u]Wskazówka[/u]: Spróbuj zmienić położenie liczby [math]z[/math] w powyższym aplecie.[/size]
Pytanie 2.
Co można powiedzieć o modułach liczb [math]z[/math], [math]\overline{z}[/math], [math]-z[/math] i [math]-\overline{z}[/math]. Odpowiedź znajdziesz w poniższym aplecie. Udowodnij postawioną hipotezę.
Rozkład wielomianu na czynniki
[br][color=#980000][b]Wielomianem zespolonym[/b][/color] [math]n[/math]-tego stopnia nazywamy funkcję [math]W_n:\mathbb{C}\to\mathbb{C}[/math] opisaną wzorem[center][math]W_n(z)=a_n\cdot z^n+a_{n-1}\cdot z^{n-1}+\cdots+a_1\cdot z+a_0[/math] dla [math]z\in\mathbb{C}[/math],[br][/center]gdzie [math]a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{C}[/math] i [math]a_n\ne0[/math].[br][br]Przypomnijmy, że w dziedzinie rzeczywistej wielomian może nie posiadać pierwiastków. Natomiast w dziedzinie zespolonej, zgodnie z [color=#980000][b]zasadniczym twierdzeniem algebry[/b][color=#000000],[/color][/color] każdy wielomian [math]W_n[/math] stopnia dodatniego [math]n[/math] posiada dokładnie [math]n[/math] (niekoniecznie różnych) pierwiastków [math]z_1,z_2,\ldots,z_n[/math]. To oznacza, że możemy go zapisać w postaci[center] [math]W_n(z)=a_n\cdot(z-z_1)\cdot(z-z_2)\cdot\cdots\cdot(z-z_n)[/math].[/center][color=#666666][color=#666666][sup][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/sup]D[/color]o rozkładu wielomianów na czynniki mamy do dyspozycji następujące polecenia:[br][/color][list][*][color=#666666][b]ZRozkładWielomianu[/b](...) [math]-[/math] rozkład wielomianu na zespolone czynniki liniowe, o ile wielomian posiada pierwiastki wymierne, w pozostałych przypadkach rozkład na rzeczywiste czynniki liniowe i kwadratowe,[/color][/*][*][color=#666666][b]Czynniki[/b](...) [math]-[/math] [/color][color=#666666][color=#666666]rozkład wielomianu o współczynnikach rzeczywistych (zespolonych) na czynniki liniowe i kwadratowe rzeczywiste (zespolone), [/color]działa podobnie jak wcześniejsze polecenie, z tym że [/color][color=#666666]wynik podawany jest w postaci macierzy: w pierwszej kolumnie znajdują się czynniki, w drugiej ich krotności.[/color][/*][/list][color=#666666]Do wyznaczenia pierwiastków wielomianów zespolonych można wykorzystać polecenia:[/color][list][*][color=#666666][b]PierwiastekZespolony[/b](...) i [/color][color=#666666][b]ZRozwiązania[/b](...). [/color][/*][/list] Działanie wyżej opisanych poleceń przetestujemy w poniższych przykładach.
Przykład 3.1
Zapiszemy w postaci czynnikowej wielomian [math]W[/math] (o współczynnikach rzeczywistych) określony wzorem [center][math]W(z)=z^4-16[/math] dla [math]z\in\mathbb{C}[/math].[/center]
Przykład 3.2
Zapiszemy w postaci czynnikowej wielomian [math]W[/math] (o współczynnikach zespolonych) określony wzorem [center][math]W(z)=i z^3+(1-2i)z^2+(i-2)z+1[/math] dla [math]z\in\mathbb{C}[/math].[/center]
Z powyższych obliczeń wynika, że